ЧАСТЬ 2. СИНТЕЗЫ В МАТЕМАТИКЕ

С переходом к математике мы попадаем из сферы суждения в сферу множеꢀ

ства и числа. Число — вот та сущность, которая встречает нас в мире математиꢀ

ческого мышления в первую очередь. Ниже я постараюсь начать с некоторых

более субъектных и проективноꢀмодальных определений наиболее фундаменꢀ

тальных математических структур, накапливая ряд имеющихся у меня зарисоꢀ

вок о синтетическом логосе в математике.

Г л а в а

1

К экранной теории математики

§ 1. Проективноꢀмодальные и субъектные структуры в математике

Со времен Н. Бурбаки общепринято, что основным объектом математики явꢀ

ляются структуры. Математика — наука о структурах ¹. Как было отмечено

выше, в простейшем случае структура — это единство элементов, операций

и предикатов. Система конструкций самой структуры и ее окружения (наприꢀ

мер, языка, теории, эмпирических реализаций) образует, как можно предполоꢀ

жить, некоторое ментальное многообразие, в котором существует максимальꢀ

ный модус, объединяющий в себе всю полноту этих конструкций.

Пусть дана структура S = <M, F, P>, где М — множество элементов, F — мноꢀ

жество функций (операций), Р — множество предикатов структуры. Пусть Т —

теория этой структуры, L — язык теории, E₁, E₂, E₃, … — эмпирические реализаꢀ

ции структуры. Тогда можно предположить существование 7strꢀОнтологии,

1

Слово «структура» я понимаю здесь в широком смысле строгого представления некоторого

многоединства, не обязательно связывая его с изоморфизмом как частным случаем морфизꢀ

ма, но и предполагая распространение идеи структуры на конструкции математической теоꢀ

рии категорий, где, как известно, допускается гораздо более широкий класс морфизмов.

≡

13

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

в рамках которой определен некоторый максимальный модус S*, strꢀмодами

которого оказываются все указанные конструкции. Одна из проблем определеꢀ

ния такой онтологии — определение отношения «быть компонентом структуꢀ

ры», которое должно быть отношением нестрогого порядка. Здесь можно было

бы принять следующие соглашения:

• если «А — элемент множества В», то «А — компонент В»;

• если «А — подмножество множества В», то «А — компонент В»;

• если «А — подструктура структуры В», то «А — компонент структуры В».

Проблему для проективноꢀмодальных отношений представляет только отꢀ

ношение «быть элементом», которое в общем случае не является транзитивꢀ

ным. Но это препятствие можно преодолеть, рассматривая отношение вхождеꢀ

ния: х ∈∈ у — «х входит в у».

Это значит, что найдутся такие z₁, …, z_n, где z_n= y, что x ∈ z₁∈ … ∈ z_n. Отношеꢀ

ние вхождения — это транзитивное замыкание отношения принадлежности,

и оно уже транзитивно. Оно обобщает отношение принадлежности: если х ∈ у,

то х ∈∈ у.

Отношение вхождения в общем случае исключает рефлексивность и являетꢀ

ся отношением строгого порядка. Его можно дополнить до нестрогого порядка

обычным образом: х ∈∈ *у если только если х ∈∈ у или х = у, где х ∈∈ *у — отꢀ

ношение нестрогого вхождения.

Теперь все три отношения — нестрогого вхождения, подмножества и подꢀ

структуры, — являясь отношениями нестрогого порядка, могут быть представꢀ

лены как соответствующие проективноꢀмодальные отношения в подходящей

Проективно Модальной Онтологии.

Таким образом, отношение «быть компонентом» должно обобщать другие

мереологические отношения, имеющие касательство к составу структуры.

Итак, структуру можно представлять как модус, используя связанные с нею

отношения порядка. Но в этом случае сама структура поꢀпрежнему может быть

объектом теории множеств, в конечном итоге выступая как множество. Чтобы

сделать еще более глубокий шаг и представить структуру первоначально в термиꢀ

нах проективной модальности — как некоторый достаточно иерархически высоꢀ

кий модус с множеством своих модꢀаспектов, можно использовать описанную

выше логику координаций, выражая логику структуры как логику подходящего

координационного предиката, в рамках которого координируются различные

составляющие структуры, а сама структура оказывается координациейꢀмодуꢀ

сом на своих компонентахꢀмодах.

Тема субъектности также важна для математического знания. Реально мы

всегда имеем дело не со структурами самими по себе, но со структурами, котоꢀ

рые использует живой математический разум, математический субъект. Поэтоꢀ

му не удивительно, что идея структуры уже несет в себе субъектные определеꢀ

ния.

Если дана структура S = <M, F, P>, где М — множество элементов, F — мноꢀ

жество функций (операций), Р — множество предикатов структуры, то с этой

≡

14

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 1.

К

экранной теории математики

≡

структурой можно связать субъект Sub, который определен на множестве Mⁿ

nꢀок элементов из М как на положениях дел (ситуациях) своей субъектной

онтологии, которые он может менять функциями f из F, используя эти функꢀ

цииꢀоперации как своего рода эфферентные органы, и, наконец, субъект Sub

способен определять предикаты Р на nꢀках элементов из М (что, впрочем, можꢀ

но рассмотреть как частный случай использования операций, если множество

М пополнить двуэлементным множеством {истина, ложь}).

В рамках структур минимальной онтологии субъект Sub будет обладать своꢀ

им внутренним миром (экраном сознания), на котором он будет способен строꢀ

ить и воспринимать изображения — в данном случае nꢀки элементов из М. Заꢀ

мечательно также, что математический субъект Sub будет обладать и своей

аксиологией, которая в простейшем случае могла бы быть представлена скаꢀ

лярной или векторной функцией, определяемой на nꢀках из М. Если, например,

это скалярная функция V («степень себя» субъекта), то, поꢀвидимому, она должꢀ

на будет коррелировать с некоторым замыслом субъекта, который он мог бы

реализовывать в рамках определений структуры S. Например, простейшими заꢀ

мыслами могли бы быть:

• вычисление значения функции f(а) на аргументе а ∈ Мⁿ;

• определение предиката Р на том или ином элементе а ∈ Mⁿ.

В этом случае переход от а к f(a) или P(a) будет сопровождаться ростом стеꢀ

пени себя V, выражая определения Закона субъектности.

В таком виде математические структуры начнут приобретать статус живых

(субъектных) структур, и математика также окажется наукой о жизни в ее своеꢀ

образно ментальных формах.

Далее я попытаюсь на ряде более конкретных тем, привлекая конструкции

Проективно Модальных, Субъектных Онтологий и некоторых дополнительꢀ

ных средств, развивать подобное направление представления математических

структур как существенно живых структур.

§ 2. Ментальные экраны в математическом мышлении

В этом параграфе я предлагаю посмотреть на теоретическую способность разуꢀ

ма как на деятельность по образованию ментальных «изображений» на экраꢀ

нах сознания.

Работа с математической структурой, построение логической теории, анализ

той или иной системы смыслов — во всех подобных случаях предполагается суꢀ

ществование некоторых экранов, с которыми работает сознание и на которые

оно проецирует свои состояния. Тем самым предполагается некоторая новая,

экранная, парадигма интеллектуальной деятельности, в частности математиꢀ

ческого мышления, в рамках которой важной является «среда изображения»

(«экран»), в отношении к которой осуществляется субъектом деятельность по

выражению и конструированию разного рода смысловых структур. Как и в слуꢀ

чае мультимедийных экранов (монитор, экран телевизора и т. д.), ментальные

≡

15

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

экраны сознания задают среду выразимости, в рамках которой доступны одни

средства выражения и недоступны другие. Например, экран задает верхний

и нижний пределы различимостиꢀизобразимости, предполагая своего рода

иерархию системы своих «изображений» с отношением порядка, минимальꢀ

ным («ноль экрана») и максимальным («единица экрана») «изображением».

В процессе мышления субъект может работать как в рамках одного экрана соꢀ

знания, так и переходить от одних экранов к другим. В конечном итоге, как

можно предположить, любое состояние сознания может быть представлено как

«изображение» на некотором подходящем экране сознания. Экран сознания

позволяет выразить свои «изображения», но сам остается в «ментальной тени».

Иными словами, экран сознания не позволяет выразить самого себя через себя.

Для выражения экрана сознания необходимо, чтобы он стал «изображением»

некоторого иного экрана сознания. В представлении деятельности сознания чеꢀ

рез его экраны сознание обращается на само себя — оно начинает мыслить

сущности, подобные сознанию в целом. Интересно рассмотреть проблемы маꢀ

тематики с использованием экранного подхода к сознанию.

Например, построение формальной аксиоматической теории Т можно исслеꢀ

довать с точки зрения ментальных экранов этой теории. Для этого необходимо

анализировать разного рода выразительные возможности теории. Воꢀпервых,

это синтаксическая выразимость, позволяющая строить выражения языка теоꢀ

рии Т. В связи с этим можно говорить о первом экране теории Т — синтаксичеꢀ

ском экране Е_sx, изображениями которого будут все правильно построенные

выражения (ППВ) языка этой теории. Пытаясь ввести границы экрана, можно

пополнить множество ППВ пустым выражение 0_sx(«синтаксический ноль»)

и максимальным выражением 1_sx(«синтаксическая единица»). Если А есть ППВ,

≤_sx— отношение нестрогого порядка «быть подвыражением», то 0_sx≤_sxA ≤_sx1_sx

для любого А.

Следующий экран теории Т — логический экран Е_log, изображениями котороꢀ

го являются все теоремы теории Т. Нулем 0_logэтого экрана будет конъюнкция

всех теорем Т, единицей 1_log— дизъюнкция всех теорем Т. В случае непротивоꢀ

речивости теории Т, средствами логического экрана невозможно выразить отꢀ

рицание теоремы, однако последнее является поꢀпрежнему «изображением»

синтаксического экрана (можно сказать и так, что отрицание теоремы одновреꢀ

менно логически невыразимо и синтаксически выразимо). Здесь мы сталкиваꢀ

емся с проблемой и видами выразимости на экранах сознания.

При задании экрана ⊕ предполагается выделение класса всех его «изобраꢀ

жений», каждое из которых можно считать выразимым в ⊕ (Еꢀвыразимым).

Следовательно, А есть изображение экрана ⊕ если только если А Еꢀвыразимо.

Положим также, что на множестве изображений экрана ⊕ может быть введено

отношение нестрогого порядка ≤_Е. Будем говорить, что Еꢀвыразимое состояние

А собственно Еꢀвыразимо если только если найдутся такие Еꢀвыразимые В и С,

что В <_EA <_EC, где <_E— строгий Еꢀпорядок. Отсюда следует, что ноль и единиꢀ

ца экрана не являются собственно Еꢀвыразимыми, хотя мы примем, что они

≡

16

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 1.

К

экранной теории математики

≡

Еꢀвыразимы. На самих экранах также можно ввести отношение нестрогого поꢀ

рядка ≤, полагая, что Е₁≤Е₂если только если любое изображение Е₁одновреꢀ

менно является изображением Е₂.

При более общем подходе возможен своего рода экранный анализ математиꢀ

ческих структур, т. е. новая методология и логика анализа, позволяющая выдеꢀ

лять те или иные экраны структуры и сопутствующее экранное обеспечение.

Интересно было бы посмотреть на определения теории множеств с точки

зрения экранного анализа. Например, континуум есть такая система ментальꢀ

ных изображений, которая предполагает фиксацию некоторого ментального

экрана и одновременное выхождение из него. Подобное свойство можно расꢀ

сматривать как существенное условие определения континуума. Если Е — некоꢀ

торый экран, то Еꢀтрансцендентом можно называть систему изображений,

которая 1) предполагает изображения экрана ⊕ в качестве некоторой базы,

2) содержит такой принцип порождения изображений, который позволяет на

основе базисных Еꢀизображений образовать внешний («Еꢀдиагональный»)

элемент, не являющийся Еꢀвыразимым. В этом случае континуум вещественꢀ

ных чисел можно определить как Е_Nꢀтрансцендент, где E_N— экран, способный

выражать не более чем счетные множества. Идея континуума операционализиꢀ

рует в математике принцип трансцендирующих элементов в метафизике (мир,

душа, бог, сознание, свобода и т. д.).

Подобным же образом можно рассмотреть конструкции парадокса Рассела.

Множество Рассела задается таким образом, что оно всегда выступает в виде

Dꢀтрансцендента по отношению к своей области определения D как некотороꢀ

му ментальному экрану. Парадокс Рассела возникает в том случае, если множеꢀ

ство D мы пытаемся рассмотреть как максимальный экран сознания, за предеꢀ

лы которого невозможно выйти. Стоит только наложить ограничения на экран

D, и парадокс будет преодолен. Однако множество Рассела можно мыслить

и как переменный Еꢀтрансцендент по отношению к любому экрану сознанию Е.

В таком виде множество Рассела выступит как динамический принцип трансꢀ

цендирования любого экрана сознания.

E_Nꢀконтинуум оказывается ограниченным трансцендентом, способным выхоꢀ

дить за границы только счетных экранов, в то время как множество Рассела —

это более безусловное выражение трансцендента, способного трансцендироꢀ

вать за любые ментальные экраны. Экранный анализ мог бы позволить разъясꢀ

нять парадоксы и трансцендирующие конструкции теории множеств введением

понятия экрана как среды ментальной выразимости и выделением системы экꢀ

ранов («экранной архитектуры») той или иной математической структуры.

Следует заметить, что новая математика, родившаяся с идеей актуальной

бесконечности (Лейбниц, Кантор), работает с существенно полиэкранными обꢀ

разованиями и может быть названа полиэкранной математикой. Например,

уже идея бесконечности натурального ряда предполагает два экрана: 1) экран

Е₁, на котором последнее натуральное число (ℵ₀) является единицей экрана

и собственно невыразимо (здесь множество натуральных чисел дано как потенꢀ

≡

17

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

циально бесконечное), 2) экран Е₂, на котором бесконечность натурального

числа видится «извне», т. е. дается как собственное изображение (множество

натуральных чисел как актуальная бесконечность). Таким же полиэкранным

образованием является важнейшее понятие предела в новой математике. Наꢀ

пример, предельной последовательностью вещественных чисел также задаются

два экрана — на первом экране предел недостижим, и последовательность реаꢀ

лизуется как потенциально бесконечная, на втором экране предел достигается

и оказывается собственным изображением более мощного экрана. В полиэкранꢀ

ной математике главную роль начинают играть межэкранные инварианты, как

бы «висящие» над разными экранами и дающие в них те или иные свои «изобꢀ

ражения». Именно такими инвариантами выступают бесконечность, континуꢀ

ум, предельная последовательность и т. д.

Поꢀвидимому, феномен мышления существенно предполагает образование

некоторого ментального экрана, в рамках которого мышление очерчивает граꢀ

ницы своих определений. Построив первоначальный экран, мышление (сознаꢀ

ние) может затем выходить за его границы, начиная работать с новыми экранами

и удерживая межэкранные инварианты. Подобную полиэкранную активность

сознания необходимо различать и явным образом выражать в философском

анализе математического мышления. Когда сознание полагает экран, что поꢀ

зволяет обеспечить некоторую порцию ментальной выразимости, оно задает

одну систему полагания. Затем сознание может переходить к новым системам

полагания (идея акта полагания как полагания в первую очередь экрана сознаꢀ

ния). Живое мышление постоянно полагает экраны и трансцендирует их. Если

не различать отдельные кванты полагания, связанные с фиксированными экраꢀ

нами, мы рискуем впасть в разного рода парадоксы и противоречия.

§ 3. Экраны сомнения

и проблема обоснования математики

Одна из важнейших тем философии современной математики (XX—XXI вв.) —

проблема обоснования математического знания. Ниже я вкратце постараюсь

посмотреть на эту проблему с точки зрения теории ментальных экранов (экраꢀ

нов сознания), представление о которых уже не раз использовалось выше.

В первую очередь речь идет о том, что обоснование начинается с сомнения

и проблематизации некоторой темы, обосновать которую и призвана дальнейꢀ

шая практика. Далее я буду предполагать, что сомнение (проблемность) есть

изображение на некотором экране — экране сомнения. Эта тема уже поднимаꢀ

лась выше, при анализе философии Декарта. Здесь я напомню принципиальные

положения, которые уже были высказаны.

Как и ранее, будем предполагать, что сомнение возможно лишь на некотоꢀ

ром фоне (фоне сомнения), сравнение с которым и репрезентируется субъекту

в виде сомнения. Утверждение «Х сомнительно» должно, если быть более точꢀ

ным, выражаться как «Х Вꢀсомнительно», где В — фон сомнения. Таким обраꢀ

≡

18

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 1.

К

экранной теории математики

≡

зом, я предполагаю, что здесь работает двуместный предикат «Х есть сомниꢀ

тельное относительно В» («Х есть Вꢀсомнительное»), что выражает определеꢀ

ние состояния сомнения в форме любого оценочного состояния.

Когда мы оцениваем некоторое Х как плохое или хорошее, то здесь также

точнее было бы говорить о Еꢀхорошем или Еꢀплохом, где Е — некоторый ценꢀ

ностный эталон, относительно которого устанавливается степень соответствия

для репрезентата Х. Если Х полностью соответствует эталону Е, то Х есть Еꢀхоꢀ

роший. Если же Х обнаруживает неполное или достаточно слабое соответствие

Е, то Х есть Еꢀплохое.

Аналогичным образом я буду предполагать, что и обоснование есть также

результат сравнения репрезентата (того, в чем сомневаются) с некоторым фоꢀ

ном сомнения В. Тот факт, что Х обоснован (точнее, Вꢀобоснован) означает, что

Х в той или иной мере соответствует фону сомнения В.

Что же касается самого сомнения, то Х как сомнительное (проблемное) соꢀ

стояние означает, что Х еще не определен как та или иная степень Вꢀобосноваꢀ

ния, и в этом смысле сомнение также обнаруживает свою зависимость от фона

сомнения В.

Итак, можно предположить, что в качестве сомнительного Х выступает как

переменная по множеству альтернатив potX (потенциал Х) — от альтернативы

полной Вꢀобоснованности (Вꢀнесомненности) через промежуточные состояния

частичной Вꢀобоснованности к полной Вꢀнеобоснованности Х.

С точки зрения энтропии potХ — как равновероятное пространство возможꢀ

ностей — оказывается больше фона сомнения В. Последний выступает как

лишь одна из альтернатив потенциала potX. В связи с этим я буду предполагать

здесь некоторое отношение порядка <¹, где В <¹potX означает, что В есть одна

из альтернатив potX.

В результате проведения процедур обоснования, Х переходит в разряд каꢀ

койꢀто альтернативы из potX, т. е. Хꢀпеременная принимает какоеꢀто свое частꢀ

ное значение.

В свою очередь, альтернативы из пространства возможностей potX можно

упорядочить по степени Вꢀобоснованности — от максимума В до полной Вꢀнеꢀ

обоснованности, что можно обозначить символом N. Поскольку в этом случае

максимумом будет фон сомнения В, то здесь уже нужен новый порядок, котоꢀ

рый я обозначу символом «<²». Итак, вторая система изображений экрана соꢀ

мнения связана с порядком <², где будет свой максимум В и свой минимум N,

а промежуточные состояния будут рассматриваться не как Вꢀсомнительные,

а как Вꢀобоснованные с той или иной степенью. С точки зрения 2ꢀпорядка,

Вꢀобоснование выглядит как обнаружение Х в качестве модыꢀаспекта фона соꢀ

мнения В.

Такова, как мне представляется, общая структура изображений любого экꢀ

рана сомнения, который одновременно можно рассмотреть и как экран обосноꢀ

вания.

≡

19

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Проблема обоснования знания выглядит теперь таким образом, что обосноꢀ

вываемое знание Х (знаниеꢀрепрезентат) обнаруживается как Вꢀсомнительное

на соответствующем экране сомнения (как переменная по альтернативам из

potX). В дальнейшем делаются попытки обоснования, и Х предстает как Вꢀобоꢀ

снованное, либо как Вꢀнеобоснованное (N). В любом случае после проведения

обоснования (или его попыток) Х оказывается константой — одной из альтерꢀ

натив в пространстве возможностей potX.

Если Х Вꢀобосновано, то это еще не значит, что Х В*ꢀобосновано, где В* —

фон сомнения, отличный от В. В общем случае для экрана сомнения ⊕ с фоном В

можно ввести антиэкран сомнения Е*, где В окажется репрезентатом.

Если даны два экрана сомнения Е₁и Е₂с фонами В₁и В₂соответственно, то

можно предположить возможность образования третьего экрана сомнения Е₃

с фоном В₃, так что В₃презентируется через В₁на экране Е₁и через В₂на экране

Е₂. В этом случае фон сомнения В₃обеспечивает более глобальное сомнение,

чем фоныꢀаспекты В₁и В₂. Продолжая так и далее, можно было бы предполаꢀ

гать существование фона абсолютного сомнения В*, относительно которого

можно провести любой вид проблематизации. Элемент В* оказывается обосноꢀ

ванным на любом экране сомнения.

Случай сетевого обоснования в экранном представлении мог бы выглядеть

следующим образом. Если А Вꢀобосновывается и В Аꢀобосновывается, то тем

самым предполагаются два экрана сомнения, в одном из которых В есть фон соꢀ

мнения, в другом — А. Полное обоснование А и В происходит на третьем экраꢀ

не, где объединяются основания А и В.

Как теперь с этой точки зрения можно было бы представить проблему обоꢀ

снования математического знания?

Можно, поꢀвидимому, утверждать, что формализм, как одно из основных

направлений философии математики, связывает обоснование с построением

формальных систем, но каждая такая система одноэкранна (задается только

в рамках одного экрана сомнения). С этой точки зрения неожиданную интерпреꢀ

тацию получает известная теорема Геделя о неполноте. Выражаясь экранным

языком, она обнаруживает, что в одном экране сомнения невозможно обосноꢀ

вать все истины достаточно богатой научной теории. Такие теории полиэкранꢀ

ны — так можно было бы переинтерпретировать значение теоремы Геделя.

Логицизм ограничивает процедуры обоснования только логическими экраꢀ

нами сомнения. Если даже будут обеспечены обоснования таких экранов, остаꢀ

нутся нелогические экраны сомнения, в которых сама логика потребует своего

обоснования.

Интуитивизм ограничен интуитивными экранами сомнения, на которых

дает обоснование интуитивистская логика, но есть и неинтуитивистские экраꢀ

ны сомнения, например экраны классической логики и теории множеств.

Если касаться разного рода кантовских подходов к проблеме обоснования

математического знания, то следует заметить, что кантовское априори ограниꢀ

чено только рамками экранов априорного сомнения, в которых обоснование

≡

20

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 1.

К

экранной теории математики

≡

обеспечивается только априорными формами разума. Но возможно сомнение

и в самих этих формах в рамках, например, апостериорных экранов сомнения,

когда рациональные формы познания проблематизируются с точки зрения тех

или иных эмпирических критериев.

В общем случае экран сомнения может быть любым — формальным, логиꢀ

ческим, интуитивистским, априорным, конвенциональным и т. д. В самом общем

случае экран сомнения — это некоторый «горизонт», позволяющий породить

некоторый вид сомнения, это своего рода «интервал сомнения» — интервал

бытия, способный породить проблемность некоторого начала (репрезентата).

Все теории обоснования математики, поꢀвидимому, ограничены тем, что

они рассматривают не любые экраны сомнения, но лишь некоторые, по отноꢀ

шению к которым признаются только соответствующие процедуры обосноꢀ

вания.

Полное обоснование знания, в том числе математического, может предполаꢀ

гаться только в рамках экранной теории математики, которая предельно обобꢀ

щает понятие экрана сомнения.

Ситуацию размывания любых оснований, связанную с современным кризиꢀ

сом философии математики, можно связать с обнаружением антиэкранов соꢀ

мнения на каждый экран сомнения (как уже отмечалось, в антиэкране сомнеꢀ

ния возникает сомнение в фоне сомнения первоначального экрана).

В рамках экранной теории обоснования математики экраны сомнения одноꢀ

временно образуют экраны (интервалы) бытия математических объектов. Поꢀ

лиэкранность сомнения предстает как полиэкранность математического быꢀ

тия — объекты математики приобретают многомерность, включая в себя свои

социокультурные и субъектные определения.

Объект полиэкранной математики — живая структура. Как уже отмечаꢀ

лось, если S = <M, F, P> — математическая структура (М — множество элеменꢀ

тов, F — множество операций, Р — множество предикатов структуры), то с ней

можно связать субъектную онтологию S* = <U, B, e>, где онтология U предꢀ

ставлена декартовым произведением Mⁿ, и n — максимальная местность операꢀ

ций f ∈ F, телесность B — объединение областей определения операций f ∈ F,

е — эго математического субъекта в экранной теории онтологии. Активность S*

выражается в этом случае в совершении операций (здесь операции — это своего

рода «органы» субъекта). Такие операции выступают как акты в рамках более

интегральной деятельности Д, по крайней мере, по траектории которой задана

некоторая растущая скалярная ценностная мера V.

В связи с идеей фона сомнения, мне хотелось бы сформулировать то, что

можно было бы назвать методом депроблематизации.

Например, так: когда есть разного рода негативации, то за ними лежат соотꢀ

ветствующие фоны негативаций, которые сами позитивны относительно себя.

Таким образом, всякая негативность есть Фꢀнегативность, где Ф — фон негаꢀ

тивности. Здесь же можно говорить и об экранах негативности со своим фоном

и видом негативности. Например, непознаваемость мира предполагает фон неꢀ

≡

21

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

познаваемости. Небытие предполагает фон небытия. Если есть два разных объꢀ

екта А и В, то есть небытие их тождества, но тем самым задан фон этого небыꢀ

тия, который представляет собой некий вид единого. В общем случае нужно боꢀ

лее детальное исследование отношений между негативностями и их фонами.

Прежняя философия, по крайней мере начиная с Нового времени, все более

смещается в сторону негативаций как последних актов мысли (непознаваемость

мира, несуществование души, Бога и т. д.), что выражает период господства акꢀ

тов проблематизации. Метод депроблематизации должен уравновесить ситуаꢀ

цию, расположив в общем случае равноправно значение проблематизации

и депроблематизации. Если метод проблематизации обнаруживает за всяким

фоном его границы, то метод депроблематизации, наоборот, за всякой проꢀ

блемностью обнаруживает фон этой проблемности, не имеющий границ в рамꢀ

ках (в границах) этого вида проблемности.

Например, знаменитые доказательства бытия Бога можно рассмотреть как

общую формулировку метода депроблематизации: движение от проблемного

к фону проблемности. И Бог есть единство всех фонов проблемности — фон абꢀ

солютной проблемности.

§ 4. К логике сетевых обоснований

Коль скоро в предыдущем параграфе речь зашла об экранах сомнения и тесно

связанных с ними процедурах обоснования, то здесь, в этом параграфе, я поꢀ

зволю себе вкратце коснуться проблемы так называемого сетевого обоснования,

проективноꢀмодальную структуру которого я описывал ранее в ряде своих пубꢀ

ликаций под названием «процесс сопряжения» ¹. Кроме того, рассуждения о поꢀ

нятии процедуры обоснования и общей структуре процедур обоснования читаꢀ

тель может посмотреть в следующих источниках ².

Введем понятие системы обоснования J (от англ. justification — обосноваꢀ

ние), для которой можно выделять basJ — множество оснований, repJ — мноꢀ

жество репрезентатов J, actJ — множество актов обоснования, LstJ — Lꢀстатус

(от англ. law — закон), характерный для J. В общем случае система обоснования

J — это перенос некоторого Lꢀстатуса с оснований на репрезентаты средствами

некоторых актов обоснования. Например, формальная аксиоматическая теория

Т может быть рассмотрена как дедуктивная система обоснования, где основания

представлены аксиомами Т, репрезентаты — теоремами Т, акты обоснования —

1

См., напр.: Моисеев В. И. Процесс сопряжения // Синергетическая парадигма: Когнитивноꢀ

коммуникативные стратегии современного научного познания. М.: ПрогрессꢀТрадиция, 2004.

С. 315—331.

Моисеев В. И. Наука и религия: два образа веры // Философия: история и современность:

2

Сб. научных трудов. Вып. 1. Воронеж: Воронежский госуниверситет, 2005. С. 35—48; Моисеꢀ

ев В. И. Философия науки. Учебное пособие. Воронеж: Издꢀво Воронежской государственной

мед. академии, 2006. С. 32—53.

≡

22

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 1.

К

экранной теории математики

≡

правилами логического вывода Т, Lꢀстатус — доказанностью в Т, выражаемой

метасвойством «быть теоремой Т». Еще один пример системы обоснования —

система определения понятий в теории Т с определениями. Здесь основания —

первичные (неопределяемые) понятия, репрезентаты — определяемые поняꢀ

тия, акты обоснования — разного рода схемы определения в теории Т, Lꢀстаꢀ

тус — понятность (предполагается, что в определениях переносится понятность

с дефиниенса на дефиниендум, подобно переносу доказанности с аксиом на теоꢀ

ремы в дедуктивной системе обоснования). Классические представления о деꢀ

дуктивных логических системах связаны с построением формальной аксиомаꢀ

тической теории Т, которая может быть представлена как единственная

система обоснования J. Предполагается, что в более общем случае возможно

выражение логики в рамках множества процедур обоснования J₁, …, J_n, в том

числе имеющих сетевой характер. Будем говорить, что множество процедур

обоснования J₁, …, J_nимеет сетевой характер, если найдутся две такие системы

обоснования J_iи J_k, что basJ_i∩ repJ_k≠ ∅. Это означает, что часть оснований сисꢀ

темы J_iявляется одновременно репрезентатами системы J_k.

Приведем один возможный пример сетевой системы. Множество понятий

естественного языка имеет сетевой характер. Известно, что для любых двух поꢀ

нятий А и В можно в конечном итоге найти такие достаточно длинные и разꢀ

вернутые определения, что А будет определяться через В, а В — через А. Подобꢀ

ные взаимоопределения выражаются, например, в сетевых отношениях между

понятиями в ментальных репрезентациях моделей искусственного интеллекта.

В этом случае можно предполагать, что вся система понятий естественного

языка не может быть определена в рамках одной системы обоснования, но буꢀ

дет покрыта несколькими системами обоснования J₁, …, J_n, множество которых

будет носить сетевой характер, т. е. по крайней мере часть первичных понятий

одной системы попадет в разряд определяемых понятий другой системы обоꢀ

снования (интересно, что множество систем обоснования напоминает в этом

случае многообразие, в котором система карт атласа покрывает некоторое мноꢀ

жество. Возможно, идея многообразия также связана с множественностью сисꢀ

тем обоснования?). В связи с сетевыми множествами процедур обоснования

возникает проблема известной ошибки логического круга (circulus vitiosus),

частными случаями которого являются герменевтический круг, разного рода

парадоксы целостности (взаимоопределение целого и частей) и т. д. Преодоꢀ

леть трудности порочного круга можно использованием метода последовательꢀ

ных приближений. В простейшем случае для сетевого множества из двух систем

обоснования J₁и J₂метод последовательного приближения может быть описан

в следующем виде. Обозначим через А множество (basJ₁∩ repJ₂) ∪ (basJ₂∩ repJ₁).

Выделим моменты времени 1, 2, 3… Положим, что в первый момент времени раꢀ

ботает система обоснования J₁(1), которая переносит свой L₁ꢀстатус с basJ₁(1)

на repJ₁(1). В итоге задается множество А(1). В следующий момент времени 2

работает вторая система обоснования J₂(2), осуществляющая перенос своего

L₂ꢀстатуса с basJ₂(2) на repJ₂(2), в результате чего образуется множество А(2). Так

≡

23

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

процесс продолжается и далее, образуя последовательность множеств А(1),

А(2)… В этой последовательности возможно существование некоторого предела

насыщения изменений, начиная с которого можно считать процесс сетевого

обоснования законченным. Подобным образом можно было бы представить

процесс взаимоопределения понятий в естественном языке и другие случаи сеꢀ

тевого обоснования. В частности, возникает интересная проблема применения

подобной сетевой методологии к формальным аксиоматическим теориям с поꢀ

строением метатеории своего рода «сетевой дедукции».

Г л а в а

2

Теория множеств

§ 1. Краткая сводка из теории множеств

В этом параграфе я вкратце коснусь ряда основных идей теории множеств и ее

аксиоматических версий.

Как известно, основным понятием теории множеств является отношение

принадлежности ∈, где запись х ∈ у означает, что х есть элемент множества у.

Отношение принадлежности не является транзитивным, но на его основе можꢀ

но построить новое отношение вхождения: х ∈∈ у — х входит в у. Это значит,

что найдутся такие z₁, …, z_n, где z_n= y, что x ∈ z₁∈ … ∈ z_n. Такое отношение являꢀ

ется транзитивныме замыканием отношения принадлежности, и оно транзиꢀ

тивно.

Как уже отмечалось выше, отношение вхождения ∈∈ можно обычным обраꢀ

зом дополнить до отношения нестрогого порядка (нестрогого вхождения) ∈∈*

по определению х ∈∈* у если только если х ∈∈ у или х = у.

В так называемой наивной теории множеств, где не использовалось строгое

формальное построение, одна из основных аксиом, служащая для образования

множеств, — аксиома свертки (или аксиома Фреге), утверждающая, что для

любого свойства Р можно образовать множество х такое, что ∀у(у ∈ х ≡ Р(х))),

т. е. у принадлежит х если только если свойство Р выполнено для у. Именно изꢀ

за неограниченного употребления этой аксиомы возник знаменитый парадокс

Рассела, под давлением которого, и ряда других парадоксов наивной теории,

стали выстраиваться формальные аксиоматические теории множеств.

Одной из наиболее распространенных и общепризнанных аксиоматических

теорий множеств является до сих пор (особенно среди математиков) система

ZF Цермело—Френкеля, включающая в себя следующие аксиомы:

1) аксиома экстенсиональности (А = В ≡ ∀х(х ∈ А ≡ х ∈ В));

2) аксиома существования пустого множества (∃х∀у(⎤(у ∈ х)));

3) аксиома пары (∀х∀у∃z∀t(t ∈ z ≡ (t = x ∨ t = y)));

4) аксиома объединения (∀y∃x∀z(z ∈ x ≡ ∃t(t ∈ y ∧ z ∈ t)));

≡

25

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

5) аксиома бесконечности (∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x ⊃ {y, {y}} ∈ x))) (первое бесꢀ

конечное множество обозначают ω);

6) схема аксиом подстановки (для любого множества х и любой функции F

найдется такое множество y, что F(x) = y (можно показать, что система

ZF не может вытекать ни из какого конечного числа аксиом этой схеꢀ

мы — только из бесконечного числа);

7) аксиома степени (∀x∃y∀z(z ∈ y ≡ zНx));

8) аксиома выбора (для любого множества множеств х можно образовать

множество, содержащее по одному элементу из каждого элемента х);

9) аксиома регулярности (для любого непустого множества у найдется таꢀ

кой х ∈ у, что для любого z ∈ у верно, что z ∉ х) — эта аксиома запрещает

вхождения множества в самого себя, т. е. случаи х ∈∈ х.

Впервые Джон фон Нейман предложил различать множества и классы (в своꢀ

ей системе N, в основе которой лежат идеи функции и упорядоченной пары).

Множества — это классы, которые являются элементами других классов. Но

среди классов есть не множества (собственные классы) — они не являются элеꢀ

ментами других классов.

Гедель и Бернайс построили свою аксиоматику, которая опирается на идею

класса (система GB ии NGB). В этой аксиоматике даются аксиомы для мноꢀ

жеств и для классов — и таких аксиом конечное число.

И здесь верна теорема Мостовского: каждая теорема ZF — теорема GB, и кажꢀ

дая теорема о множествах из GB (где фигурируют только множества) — теореꢀ

ма ZF.

Система Гротендика или система Цермело—Френкеля—Гротендика (ZFG) —

это система ZF с дополнительной аксиомой Гротендика G существования униꢀ

версумов.

Универсумы — это множества (или классы в NGB), способные моделироꢀ

вать множество всех множеств (это своего рода класс всех множеств).

Множество U называется универсумом если только если

1) первое бесконечное множество w принадлежит U;

2) А ∈ U ⊃ A ⊆ U;

3) A ∈ U ⊃ 2^A∈ U;

4) A ∈ U ⊃ ∪A ∈ U;

5) для любого отображения F:A → U имеем: A ∈ U ⊃ F(A) ∈ U.

Каждый универсум может быть моделью для GB.

Множество А называют малым, если А ∈ U. Если А ⊆ U и А ∉ U, то А —

большое. А — экстраординарное, если ⎤(А ⊆ U).

При интерпретации в GB малые множества предстают как множества, больꢀ

шие — как классы.

Существование хотя бы одного универсума не вытекает из аксиом ZF и должꢀ

но гарантироваться отдельной аксиомой:

G. Аксиома Гротендика.

Для каждого множества А существует такой универсум U, что A ∈ U.

≡

26

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 2. Теория множеств

≡

Отсюда вытекает бесконечное число разных универсумов (изꢀза аксиомы

регулярности): для U как множества также должен существовать универсум U*,

где U ∈ U*. Поскольку ⎤(U ∈ U), то U не может быть U*.

Всю математику можно строить на одном универсуме, настолько масштабно

это множество.

Поэтому иногда принимают более слабую аксиому:

G*. Слабая аксиома Гротендика.

Существует хотя бы один универсум.

Система ZF без ZF9 (аксиомы регулярности) обозначается ZF^–(или ZFС^–,

если хотят подчеркнуть в ней наличие аксиомы выбора) и называется теорией

гипермножеств.

В этой теории используется ряд новых понятий. х — составляющая (консꢀ

титуента) множества у если только если х ∈∈ у (х входит в у).

В теории гипермножеств аксиома регулярности заменяется аксиомой антиꢀ

фундирования AFA, которая утверждает, что для любого ориентированного граꢀ

фа (с некоторыми дополнительными условиями) существует гипермножество с

данным графом составляющих. Граф составляющих множества х — это граф,

вершинами которого являются все составляющие множества х и само х, и две

вершины у и z соединяются стрелкой (y, z) если только если y ∈ z.

Фундированное множество — множество, соответствующее аксиоме регуꢀ

лярности.

Пример нефундированного множества:

y = {x, {x, {x, {x…}}}}.

Здесь у ∈ у.

Если обычная канторовская теория множеств изучает экстенсивную бескоꢀ

нечность, «уходящую вширь», теория гипермножеств добавляет к ней еще и инꢀ

тенсивную бесконечность, «уходящую вглубь».

§ 2. Фоны и экраны в теории множеств

В теории множеств очень большую роль играют категории потенциальной и акꢀ

туальной бесконечности. Можно сказать, сама теория множеств во многом наꢀ

чалась благодаря операционализации идеи актуальной бесконечности, когда

Кантор предположил, что бесконечные множества, например множество всех

натуральных чисел, можно взять как завершенную совокупность, за границы

которой можно выйти, добавляя к ней новые элементы. До этого множество

натуральных чисел использовалось как только потенциально бесконечное, в коꢀ

тором можно было лишь для любого уже построенного элемента добавлять ноꢀ

вые элементы, но нельзя было добавить такие элементы после всех натуральꢀ

ных чисел.

≡

27

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Подход Кантора состоял в том, чтобы все множества пытаться перевести

в статус актуальной бесконечности. Однако возникшие в наивной теории мноꢀ

жеств парадоксы, связанные с понятием множества всех множеств, показали,

что это сделать невозможно, и возникшие позднее аксиоматические теории мноꢀ

жеств так или иначе стали предполагать некоторый теоретикоꢀмножественный

фон, который никогда не объективируется и на котором всегда разворачиваютꢀ

ся операции построения всех иных объектов. В аксиоматике Цермело—Френꢀ

келя такой фон явно не введен в теорию (как максимальное множество), но он

как бы проявляется при соотнесении теории ZF с аксиоматикой теории Гедеꢀ

ля—Бернайса в формулировке теоремы Мостовского. В этом случае своего рода

фоном теории ZF оказываются классы теории GB, с которыми нельзя оперироꢀ

вать столь объективированно, как с множествами (объективацию в данном слуꢀ

чае можно связать с принадлежностью к классу: класс х объективирован если

только если найдется класс у такой, что х ∈ у). Разделение многообразий фон

Нейманом на множества и классы и выражает, поꢀвидимому, ту ситуацию, что

структуры теории множеств — это система объективированных изображений

на некотором экранеꢀфоне, и чтобы нечто выражать, всегда нужен фон, сам не

изобразимый (по крайней мере столь объективированно), но позволяющий

возникать на себе всем прочим изображениям.

Можно предположить, что множество, находящееся в состоянии «фона»,

должно так или иначе быть определено не столь объективированно и внешне,

как те множества, которые даются как «локальные изображения на фоне». Как

представляется, статус фона может выражаться либо состоянием потенциальꢀ

ной бесконечности, либо статусом собственного класса, когда многообразие

столь велико, что оно не может быть представлено как элемент другого класса.

С этой точки зрения теория множеств также обнаруживает в себе отмеченꢀ

ную выше экранную структуру с некоторым экраном, фоном (максимальным

изображением экрана) и системой более локальных изображений. Фон нахоꢀ

дится в Lꢀстатусе (статусе максимального элемента с точки зрения отношения

нестрогого вхождения ∈∈*) среди всех изображений экрана, в то время как соꢀ

стояния немаксимальных изображений можно обозначать как Мꢀстатус.

Устремление Кантора к максимизации статуса актуальной бесконечности

можно было бы в этой терминологии обозначить как стремление обойтись без

фона, без множества, которое всегда находилось бы в Lꢀстатусе, и возникшие

в связи с этим противоречия можно теперь трактовать как выражение невозꢀ

можности создать такую бесфоновую систему определенности. В возникающих

позднее аксиоматиках, как мы видели, так или иначе подобный фон начинает

вводиться, и непротиворечивая теория множеств может строиться только как

система изображений на некотором фоне, который сам остается в выделенном

состоянии сравнительно с более объективированными определенностями.

Система ZFG замечательна тем, что здесь вводятся огромные множества —

универсумы, — которые играют роль своего рода промежуточного теоретикоꢀ

множественного фона, моделируя множество всех множеств. Как было отмечеꢀ

≡

28

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 2. Теория множеств

≡

но, каждый универсум может стать моделью для теории Геделя—Бернайса, так

что малые множества предстают как множества, большие множества (в том

числе и сам универсум) — как классы в теории GB. Если классы в теории Гедеꢀ

ля—Бернайса рассматривать как теоретикоꢀмножественный фон (для всех приꢀ

надлежащих им множеств), то, делая тот или иной универсум из ZFG моделью

теории GB, мы как бы сообщаем ему статус фона, переводя все его малые мноꢀ

жества в статус локальных изображений этого фона (в том числе таковыми

оказываются предыдущие универсумы для данного универсума). В итоге возꢀ

никают модели теории множеств с переменным фоном, когда роль фона берет на

себя то один, то другой универсум. Пытаясь выразить этот эффект, необходимо

рассматривать не чистую аксиоматическую теорию Т (например, GB), а ее единꢀ

ство вместе с той или иной своей моделью М (например, универсумом из ZFG),

работая с парой (Т, М) — «теория, ее модель». Эффект «фоновости» будет возꢀ

никать именно для таких парных образований, поскольку для статуса фона

важно, чтобы универсум был задан как модель теории. В этом случае аксиомаꢀ

тика в лице формальной теории Т будет выражением некоторой инвариантной

теоретикоꢀмножественной среды, способной реализоваться в разных теоретиꢀ

коꢀмножественных экранах, в то время как пары (Т, М) будут представлять уже

частные реализации этой чистой среды Т в рамках модели М как экранаꢀфона

теории множеств.

Пусть U₁и U₂— два универсума из ZFG, где U₁∈ U₂. Мы можем рассмотреть

две пары (Т, U₁) и (T, U₂), где Т — теория GB. Если в (Т, U₁) универсум U₁интерꢀ

претируется как некоторый собственный класс, то в (Т, U₂) универсум U₁окаꢀ

зывается множеством. Введем обозначение (Т, U₂(U₁)), которое будет выраꢀ

жать универсум U₁, рассматриваемый при условии (Т, U₂).

Можно рассмотреть отображения:

прямое Rꢀотображение:

R(Т, U₁) = (Т, U₂(U₁));

обратное Rꢀотображение:

R^–1(Т, U₂(U₁)) = (Т, U₁).

Прямое Rꢀотображение переводит универсум U₁из Lꢀстатуса в Мꢀстатус, т. е.

из состояния теоретикоꢀмножественного фона в состояние некоторого локальꢀ

ного изображения на фоне U₂, в то время как обратное Rꢀотображение, наобоꢀ

рот, меняет Мꢀстатус универсума U₁в составе более обширного универсума U₂

на Lꢀстатус теоретикоꢀмножественного фона.

Понятие экрана предполагает введение и работу с разного рода межэкранꢀ

ными преобразованиями, в качестве которых выступают и представленные

выше Rꢀпреобразования. Ментальный субъект не только способен строить те

или иные изображения на ментальных экранах, возможны и разного рода преꢀ

образования самих экранов — через презентирующие их фоны, когда экраныꢀ

фоны становятся локальными изображениями на более мощных экранах или,

≡

29

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

наоборот, локальные изображения способны становиться фонами со своими

экранами.

Как представляется, в теории множеств постоянно, но неявно присутствуют

подобные экранные конструкции и преобразования, и более полная версия теоꢀ

рии множеств должна сделать их явными, используя их в своем расширенном

экранноꢀфоновом операционализме. Только с этой точки зрения могут быть

примирено и скоординировано в некоторой интегральной теории множеств то

огромное разнообразие самых разных аксиоматических теорий множеств, коꢀ

торые сегодня столь распространены. Представляется, что все эти аксиоматики

могли бы быть представлены как те или иные фрагменты разных версий интегꢀ

ральной теории, представляемой в тех или иных теоретикоꢀмножественных экꢀ

ранах.

Приведу здесь один возможный пример. Одной из наиболее крайних оппоꢀ

зиционных версий в отношении к канторовской теории множеств являются сеꢀ

годня разного рода финитные версии теории множеств, в которых нет мощноꢀ

стей больше счетной. С точки зрения экранных преобразований можно было бы

предположить, что такие версии представляют собой выражение интегральной

теории множеств в такой ситуации ее экранного представления, когда максиꢀ

мальным фоном теоретикоꢀмножественных контрукций оказываются счетные

бесконечные множества. Именно эти множества выступят в этой ситуации макꢀ

симальными среди всех множеств, в то время как все остальные множества из

интегральной теории будут представлены в этом случае теми или иными подмноꢀ

жествами счетных максимальных множеств. Статус фона для таких максимальꢀ

ных счетных множеств может выражаться в их заданности через абстракцию

потенциальной бесконечности, не позволяющей выразить их законченным обꢀ

разом. Конечно, в этом случае встает вопрос о том, что интегральная аксиомаꢀ

тика теории множеств должна иметь настолько инвариантный вид, чтобы суꢀ

меть выразить свои конструкции в том числе на счетных моделях.

Теперь попытаемся несколько более строго, с использованием языка Проекꢀ

тивно Модальной Онтологии, представить описанные выше идеи экрана, фона

и разных статусов.

Как уже упоминалось, в качестве отношения нестрогого порядка можно

взять отношение нестрогого вхождения ∈∈*, согласовав его с соответствуꢀ

ющей Проективно Модальной Онтологией (по крайней мере, как вырожденной

5↓↑αꢀОнтологией, в которой из x ∈∈* y следует, что у↓х =^αх и x↑y =^αy). В этом

случае можно дать следующие определения:

Screen(Е, a, b, c, α) ⊃ Mod¹³⁷(a, c, α) ∧ Mod¹³⁷(b, c, α) ∧ Mod¹²⁷(a, b, α).

Как и ранее, здесь предполагается предикат Screen(E, a, b, c, α) — «быть экꢀ

раном E с минимумом a, максимумом (фоном) b и моделью c».

В нашем случае положим:

Screen(Е, a, b, c, α) ≡ (a =^α∅) ∧ (E =^αc) ∧ (b =^αc) ∧

∧ ∀x(Mod¹²⁷(b, x, α) ⊃ Mod¹²⁷(x, b, α)).

≡

30

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 2. Теория множеств

≡

Это значит, что экран понимается как максимальный элемент по нестрогому

вхождению, в качестве минимума которого выступает пустое множество, а в каꢀ

честве максимума — сам экран, так что здесь экран совпадает с фоном.

Rꢀстатусы можно определить следующим образом:

LSt(х) ≡ ∀у(Mod¹²⁷(x, y, α) ⊃ Mod¹²⁷(y, x, α)).

Наоборот, для Мꢀстатуса можем записать:

МSt(x) ≡ ∃у(Mod¹²⁷(x, y, α) ∧ ⎤Mod¹²⁷(y, x, α)).

Отсюда можно показать, что экранꢀфон находится в Lꢀстатусе.

В теории GB экранамиꢀфонами будут в точности собственные классы, котоꢀ

рые являются максимальными элементами по отношению нестрогого вхождеꢀ

ния (поскольку они сами не являются элементами других классов).

В паре (T, U) универсум U из теории ZFG оказывается собственным классом

в теории Т, выступая в качестве модели теории Т. Это значит, что универсум U

окажется максимальным элементом по нестрогому вхождению, т. е. теоретикоꢀ

множественным экраномꢀфоном. Малые множества универсума U даны в Мꢀстаꢀ

тусе, т. е. не являются максимальными элементами по нестрогому вхождению.

§ 3. Логика целого в теории множеств без индивидов

Казалось бы, конструкция множества в современной математике — это просто

внешнее собрание элементов, и по отношению к такому объекту вряд ли можно

говорить о системности и целостности. Однако ниже я постараюсь показать,

что даже простое множество представляет собой пример хотя еще и слабого, но

определенного целого. Для этого я постараюсь построить версию теории мноꢀ

жеств, где есть уровни и выполнены аксиомы минимальной логики.

Пусть у нас есть какаяꢀто теория множеств S, где присутствует пустое мноꢀ

жество ∅.

Введем здесь предикат Set_k(«быть множеством kꢀго уровня»), где k = 0, 1,

2…, по следующему правилу:

Set_k1. Базис:

Set₀(∅).

Set_k2. Индуктивное предположение:

Set_k(x) ≡ ∃y(Set_k–1(y) ∧ (y ∈ x)) ∧ ⎤∃z∃m(Set_m(z) ∧ (z ∈ x) ∧ (m > (k – 1))).

Set_k3. Индуктивное замыкание:

Никаких иных уровневых множеств нет.

Тем самым мы получаем возможность вводить множества все более высоких

уровней, стартуя с пустого множества. Определим теперь на каждом ненулевом

уровне понятие положительного (собственного) множества.

≡

31

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

(PSet_k)

PSet_k(x) ≡ Set_k(x) ∧ (k > 0).

Таким образом, это просто непустые множества каждого уровня.

Предикат PSet («быть собственно множеством») определим через PSet_k:

(PSet)

PSet(x) ≡ ∃kPSet_k(x).

Аналогично определим предикат Set («быть множеством»):

(Set)

Этим предикатом выделяются все множества, в том числе и пустое множеꢀ

ство.

Также нам пригодится предикат Set^k(«быть множеством не более ранга k»):

Set(x) ≡ ∃k(Set_k(x)).

(Set^k)

Set^k(x) ≡ ∃m(Set_m(x) ∧ (m ≤ k)),

на основе которого можно определить предикат PSet^k(«быть собственно мноꢀ

жеством не более ранга k»):

(PSet^k)

PSet^k(x) ≡ Set_k(x) ∧ PSet(x).

Аксиомы минимальной логики целого легко обобщить на случай и более

чем двух уровней. Тогда они примут следующий вид:

(АН1k)

(AH2k)

(Moda(a, b, k) ⊃ Moda(a, b, α));

∀x(РModus(x, k + 1) ⊃ ∃y(РModus(y, k) ∧ Moda(y, x, a))) ∧

∧ ∀x∀y(РModus(x, k + 1) ∧ РModus(y, k) ⊃ ⎤Moda(x, y, α)),

где k = 0, 1, 2…

Здесь для каждого уровня k предполагается введение своей kꢀОнтологии

с предикатом Mod(…, k), а роль трансонтологии, соизмеряющей между собою

разные уровни, поꢀпрежнему выполняет αꢀОнтология.

Для каждого k = 1, 2, 3, … введем 2ꢀОнтологии по правилу:

(k.1)

Moda(x, y, k.1) ≡ ((x ⊆_zy) ∧ Set^k–1(x) ∧ Set^k–1(y)),

(k.2)

Moda(x, y, k.2) ≡ ((x ⊆_zy) ∧ Set_k(x) ∧ Set_k(y)) ∨

∨ (x =_z∅ ∧ Set_k(y)) ∨ (x =_z∅ ∧ y =_z∅).

Отсюда видно, что пустое множество находится (как k.2ꢀмодус, а не kꢀмноꢀ

жество!) на каждом k.2ꢀуровне, где k > 0.

Соизмеряющую kꢀОнтологию введем по двум смежным уровням k.1 и k.2,

где k > 0:

(k)

Moda(x, y, k) ≡ ((x ⊆_zy) ∧ Set^k(x) ∧ Set^k(y)) ∨ ((x ∈ y) ∧

∧ Set^k–1(x) ∧ Set_k(y)).

Теперь для каждого kꢀуровня можем доказать теорему:

Теорема 1

k > 0 ⊃ (PModus(x, k.1) ≡ PSet^k–1(x)) ∧ (PModus(x, k.2) ≡ PSet_k(x)).

≡

32

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 2. Теория множеств

≡

Итак, положительные k.1ꢀмодусы — это непустые множества ранга не более

(kꢀ1), а положительные k.2ꢀмодусы — это непустые множества ранга k.

Сейчас у нас все готово, чтобы доказать выполнение аксиом (АН1k) и (AH2k)

минимальной логики целого.

Следует только оговорить вот какой вопрос. При введенных выше определеꢀ

ниях логика целого в теории множеств S предполагается в следующей реализаꢀ

ции. Для каждого k = 1, 2, 3, … строятся два уровня k.1 и k.2, на которых выполꢀ

няется двухуровневая минимальная логика целого. Так что мы получаем

бесконечное множество минимальных логик целого. Для такой версии логики

целого аксиомы следует переформулировать в следующем виде:

(АН1k)

(Moda(a, b, k.j) ⊃ Moda(a, b, k)),

где j = 1, 2.

(AH2k)

∀x(РModus(x, k.2) ⊃ ∃y(РModus(y, k.1) ∧ Moda(y, x, k))) ∧

∧ ∀x∀y(РModus(x, k.2) ∧ РModus(y, k.1) ⊃ ⎤Moda(x, y, k)),

где k = 1, 2…

Выполнение аксиомы (AH1k) несложно показать, поскольку в этом случае

мы имеем дело только с теоретикоꢀмножественным включением.

Ниже я остановлюсь на сокращенной схеме доказательства аксиомы

(AH2k), которое удается провести только для k > 1.

Теорема 2

(k > 1) ∧ РModus(x, k.2) ⊃ ∃y(РModus(y, k.1) ∧ Moda(y, x, k)).

Доказательство

(1) (k > 1) ∧ РModus(x, k.2)

(2) PSet_k(x)

(3) Set_k(x)

(4) ∃y(Set_k–1(y) ∧ (y ∈ x)) и т. д.

(5) k – 1 > 0

посылка

теорема 1, (1)

(PSet_k), (2)

(Set_k2), (3)

(1)

(6) Set_k–1(y₀) ∧ (y₀∈ x)

(7) PSet_k–1(y₀)

∃yꢀснятие (4)

(5)

(8) Set^k–1(y₀)

(Set^k–1), (6)

(7), (8)

(9) PSet^k–1(y₀)

(10) PModus(y₀, k.1)

(11) (y₀∈ x) ∧ Set^k–1(y₀) ∧ Set_k(x)

(12) Moda(y₀, x, k)

теорема 1, (9)

∧ꢀвведение (3), (6)

(k), (11)

(13) PModus(y₀, k.1) ∧ Moda(y₀, x, k)

(14) ∃y(РModus(y, k.1) ∧ Moda(y, x, k))

∧ꢀвведение (10), (13)

∃yꢀвведение (13).

Теорема 3

k > 0 ∧ РModus(x, k.2) ∧ РModus(y, k.1) ⊃ ⎤Moda(x, y, k).

33

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Доказательство

(1) k > 0 ∧ РModus(x, k.2) ∧ РModus(y, k.1)

посылка

(2) PSet^k–1(y)

теорема 1, (1)

(2), (3)

(3) PSet_k(x)

(4) ⎤(x ⊆_zy)

(5) ⎤(x ∈ y)

(6) ⎤Moda(x, y, k)

(2), (3)

(4), (5), (k).

Итак, начиная со второго уровня (k = 2), выполняются уровневые миниꢀ

мальные логики целого на множествах (на первом уровне непустые множества

могут содержать в качестве своих элементов только пустые множества, которые

не являются положительными 0ꢀмодусами). Следовательно, множества также

можно представить как целые по отношению к своим элементам как более низꢀ

кому уровню организации.

Возникающую здесь полионтологию я буду обозначать спецификатором

N₂(1, 2), подчеркивая символом N₂= {2, 3, 4…} тот факт, что уровни целых наꢀ

чинаются в этом случае только с k = 2.

Для выделения целых kꢀго уровня, введем соответствующий предикат:

(H_k) H_k(x) ≡ PModus(x, k.2).

Отсюда получим теорему 4.

Теорема 4

(k > 1) ⊃ (H_k(x) ≡ PSet_k(x)).

Таким образом, на уровнях начиная со второго целыми kꢀго уровня

в N₂(1, 2)ꢀполионтологии будут в точности непустые множества этого уровня.

Специфика логики целого на множествах в N₂(1, 2)ꢀПолионтологии состоит

лишь в том, что целые kꢀго уровня (положительные k.2ꢀмодусы) могут содерꢀ

жать в качестве своих элементов (модусов k.1ꢀго уровня) множества любого

более низкого ранга m ≤ k – 1. Таким образом, структуры уровней целых и уровꢀ

ней множеств не вполне согласуются друг с другом. Впрочем, ничто не помешаꢀ

ло бы нам и в большей степени согласовать между собой эти две иерархии, пеꢀ

реопределив понятие множества kꢀго уровня так, чтобы оно содержало только

множества (k – 1)ꢀго уровня. В этом случае, правда, не все множества окажутся

множествами определенного уровня — возникнут случаи «смешанных» мноꢀ

жеств, которые будут содержать в качестве элементов множества разных уровꢀ

ней. В любом случае принцип образования целого более высокого уровня будет

связан с актом образования множества на элементах, в связи с чем эта процедуꢀ

ра наполняется явным холистическим (сверхаддитивным) смыслом. Образоꢀ

вать множество оказывается в этом случае тем же, что и выход на более высоꢀ

кий уровень целого. Отсюда становится понятным, почему представители

разного рода номиналистических течений оценивают теорию множеств как боꢀ

лее платонистическую линию оснований математики, хотя, повторяю, сами по

≡

34

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 2. Теория множеств

≡

себе канторовские множества — это еще очень слабые целые, реализующие

себя в большей степени в единстве акта сознания, объемлющего разного рода

элементы в едином поле вниманияꢀвыделения.

§ 4. Логика целого в теории множеств с индивидами

Используя построенные выше конструкции, я хотел бы теперь несколько видоꢀ

изменить их в приложении к версии теории множеств на индивидах. Будем

предполагать тем самым, что иерархия множеств стартует не только с пустого

множества, но еще и с особых объектов, которые сами множествами не являютꢀ

ся (в отличие от пустого множества), но одновременно так же не имеют элеменꢀ

тов, как и пустое множество. Такие объекты обычно называют «индивидами»,

«атомами», «элементами». Я выбираю здесь термин «индивиды» для их обоꢀ

значения.

Будем использовать первичный предикат Ind — «быть индивидом» — для

выделения индивидов. Определим предикат Set_k— «быть множеством kꢀго

уровня» — в следующей манере.

Set_k1. Базис:

Set₀(∅) и Ind(x) ⊃ Set₀(x).

Set_k2. Индуктивное предположение:

Set_k(x) ≡ ∃y(Set_kꢀ1(y) ∧ (y ∈ x)) ∧ ⎤∃z∃m(Set_m(z) ∧ (z ∈ x) ∧ (m > (k – 1))).

Set_k3. Индуктивное замыкание:

Никаких иных уровневых множеств нет.

Таким образом, множествами нулевого уровня оказывается не только пустое

множество, но и индивиды. В остальном иерархия множеств строится по тем же

принципам, что и ранее.

Положим, что на индивидах задано некоторое отношение нестрогого порядꢀ

ка ≤, и существует минимальный (нулевой) индивид 0, который меньше или раꢀ

вен любому индивиду. Равенство = на индивидах определим как конъюнкцию

двух порядков:

(=)

x = y ≡ (x ≤ y) ∧ (y ≤ x).

Введем понятие ненулевого (положительного) индивида:

(PInd)

PInd(x) ≡ Ind(x) ∧ ⎤(x ≤ 0).

Введем еще один предикат PISet («быть непустым множеством ненулевых

индивидов») по следующему правилу:

(PISet)

PISet(x) ≡ Set₁(x) ∧ ∃y((y ∈ x) ∧ PInd(y)).

Использование индивидов позволяет нам ввести Проективно Модальную

Онтологию с положительными модусами и на нулевом уровне.

≡

35

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Случай k = 1 рассмотрим здесь отдельно:

(1.1)

(1.2)

Moda(x, y, 1.1) ≡ ((x ≤ y) ∧ Ind(x) ∧ Ind(y)).

Moda(x, y, 1.2) ≡ ((x ⊆_zy) ∧ PISet(x) ∧ PISet(y)) ∨

∨ (x =_z∅ ∧ PISet(y)) ∨ (x =_z∅ ∧ y =_z∅).

Таким образом, уровень 1.1ꢀмодусов — это уровень индивидов, в то время

как на 1.2ꢀуровне присутствуют либо непустые множества ненулевых индивиꢀ

дов, либо пустое множество. Пришлось отказаться от введения на 1.2ꢀуровне

непустого множества, которое содержит в качестве своего элемента только пусꢀ

тое множество или нулевой индивид. Являясь положительным 1.2ꢀмодусом,

оно бы не содержало в качестве своего элемента ни одного положительного

1.1ꢀмодуса, т. е. ненулевого индивида.

В остальном (для k = 2, 3…) определения 2ꢀОнтологий остаются теми же (см.

определения k.1 и k.2).

Введение индивидов не повлияет и на определение предиката соизмеряꢀ

ющей k.1 и k.2 уровни Онтологии (см. определение (k)).

Теорема 1 примет несколько иной вид:

Теорема 1

(PModus(x, 1.1) ≡ PInd(x)) ∧ (PModus(x, 1.2) ≡ PISet(x)) ∧ (k > 1 ⊃

⊃ (PModus(x, k.1) ≡ PSet^k–1(x)) ∧ (PModus(x, k.2) ≡ PSet_k(x)).

Формулировки аксиом (АН1k) и (AH2k) остаются без изменений. Первая

аксиома поꢀпрежнему не представляет сложности в плане доказательства. Что

же касается второй аксиомы, то здесь, как и выше, могут быть доказаны теореꢀ

мы 2 и 3. Теперь лишь может быть доказана дополнительная теорема, позволяꢀ

ющая показать выполнение аксиом минимальной логики целого и для k = 1.

Теорема 2.1

РModus(x, 1.2) ⊃ ∃y(РModus(y, 1.1) ∧ Moda(y, x, 1)).

Доказательство

(1) РModus(x, 1.2)

посылка

(2) PISet(x)

теорема 1, (1)

(PISet)

∃yꢀснятие (3)

(Set_k1), равносильность Set₀и Set⁰

(PISet), (2)

(3) Set₁(x) ∧ ∃y((y ∈ x) ∧ PInd(y))

(4) (y₀∈ x) ∧ PInd(y₀)

(5) Set⁰(y₀)

(6) Set₁(x)

(7) (y₀∈ x) ∧ Set⁰(y₀) ∧ Set₁(x)

(8) Moda(y₀, x, 1)

∧ꢀвведение (5), (6), (7)

(k), (8)

(9) PModus(y₀, 1.1) ≡ PInd(y₀)

(10) PModus(y₀, 1.1)

теорема 1

(4), (9)

(11) PModus(y₀, 1.1) ∧ Moda(y₀, x, 1)

(12) ∃y(РModus(y, 1.1) ∧ Moda(y, x, 1))

∧ꢀвведение (8), (10)

∃yꢀвведение (11).

≡

36

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 2. Теория множеств

≡

Аналогично может быть доказана третья теорема для случая k = 1.

Теорема 3.1

РModus(x, 1.2) ∧ РModus(y, 1.1) ⊃ ⎤Moda(x, y, 1).

Доказательство

(1) РModus(x, 1.2) ∧ РModus(y, 1.1)

(2) PISet(x)

(3) PInd(x)

посылка

теорема 1, (1)

(2), (3)

(4) ⎤(x ⊆_zy)

(5) ⎤(x ∈ y)

(6) ⎤Moda(x, y, k)

(2), (3)

(4), (5), (k)

Теорема 4 теперь приобретает следующий вид:

Теорема 4

(H₁(x) ≡ PISet(x)) ∧ (k > 1) ⊃ (H_k(x) ≡ PSet_k(x)).

Отличие от соответствующей теоремы предыдущего параграфа состоит

лишь в том, что добавляются целые 1ꢀго уровня, в качестве которых выступают

непустые множества на ненулевых индивидах.

Возникающую здесь полионтологию я буду обозначать спецификатором

N₁(1, 2), подчеркивая символом N₁= {1, 2, 3, 4…} тот факт, что уровни целых наꢀ

чинаются в этом случае с k = 1.

Итак, может быть воспроизведена минимальная многоуровневая логика цеꢀ

лого в N₁(1, 2)ꢀПолионтологии и при задании множеств на индивидах. Разлиꢀ

чие, как видим, от рассмотренного выше случая N₂(1, 2)ꢀПолионтологии будет

затрагивать лишь самые нижние уровни индивидов и множеств на индивидах.

Здесь индивиды будут представлять уровень 1ꢀпорядка (1.1ꢀмодусов), а множеꢀ

ства на ненулевых индивидах или пустое множество — уровень 2ꢀпорядка

(1.2ꢀмодусов). На более высоких уровнях иерархические определения логики

целого остаются без изменений.

Далее рассмотрим следующую идею. Для каждого индивида х рассмотрим

множества {x}, {{x}}, {{{x}}}… Введем здесь следующие обозначения — обознаꢀ

чим множество {…{x}…}, где с каждой стороны от х входит по n скобок, через

{x}ⁿ. Выражение {x}⁰отождествим с самим индивидом х. Множество {x}ⁿя буду

называть «индивидом степени n», используя для выделения таких множеств

предикат Indⁿ. Здесь получим следующее индуктивное определение такого преꢀ

диката:

Ind1. Базис:

Ind⁰(x) ≡ Ind(x).

Ind2. Индуктивное предположение:

Indⁿ({x}) ≡ Ind^n–1(x).

≡

37

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Ind3. Индуктивное замыкание:

никаких иных степенных индивидов нет.

Будем использовать также предикат ind («быть обобщенным индивидом»),

где

ind(x) ≡ ∃nIndⁿ(x).

Рассмотрим далее так называемые «рыхлые множества» (porous sets):

(Por) Por(x) ≡ Set(x) ∧ ∀y((y ∈ x) ≡ ind(x)).

Из определения следует, что элементами рыхлых множеств являются тольꢀ

ко обобщенные индивиды. Например, множество {a, {a, b}} не будет рыхлым,

так как его элементом является множество {a, b}, не являющееся обобщенным

индивидом. А вот множество {a, {a}, {{b}}} является рыхлым, так все его элеменꢀ

ты — обобщенные индивиды. Термин «рыхлый» связан с тем, что в таких мноꢀ

жествах нет «склеек» на промежуточных уровнях, они склеены между собой

только на самом высоком уровне самого множества, не более, делая его «рыхꢀ

лым», не столь связанным.

Мы могли бы представить nꢀки на индивидах вида (a₁, a₂, …, a_n) как рыхлые

множества вида {{a₁}^nꢀ1, {a₂}^nꢀ2, …, {a_nꢀ1}, a_n}. В самом деле, в этом случае можно

было бы доказать основное свойство nꢀк — свойство их покоординатного раꢀ

венства:

(a₁, a₂, …, a_n) = (b₁, b₂, …, b_n) ≡ a₁=b₁∧ a₂=b₂∧ … ∧ a_n=b_n.

При интерпретации их через указанные рыхлые множества будем исходить

из того, что равенство между nꢀками — это равенство между множествами, а раꢀ

венство между элементами nꢀк — это рассмотренное выше равенство на индиꢀ

видах.

Если исходить из допущения, что

{x}ⁿ=_z{y}^m≡ x = y ∧ m = n,

то нужное доказательство получается без проблем.

Таким образом, далее nꢀку на индивидах вида (a₁, a₂, …, a_n) я буду понимать

как рыхлое множество {{a₁}^n–1, {a₂}^n–2, …, {a_n–1}, a_n}, называя последнее линейным

рыхлым множеством длины n.

Наконец, рассмотрим следующую идею.

Я буду рассматривать ряд обобщенных индивидов растущей степени x, {x},

{x}²… как ряд все более концентрированной самости индивида х. Это похоже

на усиление темноты цвета точки на светлом фоне, когда точка (маленький круꢀ

жок) становится все темнее, достигая в пределе максимальной черноты

и контрастности с фоном. Нечто подобное, но в обобщенном смысле самостиꢀ

индивидуальности индивида х, я буду предполагать для роста степеней n в форꢀ

ме {x}ⁿ.

≡

38

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 2. Теория множеств

≡

Если объект {x}ⁿ, где n > 0, можно сравнить с принципом выделения избытꢀ

каꢀнаꢀнедостатке, т. е. когда х выделяется по принципу точки — концентрации

чегоꢀто большего на фоне меньшего, то можно было бы здесь представить и боꢀ

лее экзотические состояния — объект х = {x}⁰, который теперь следует интерꢀ

претировать как некую виртуальную самость, практически сливающуюся с фоꢀ

ном, и, наконец, можно было бы выдвинуть гипотезу отрицательной самости

как объекта вида {x}ⁿ, где n < 0, например, {x}^–1, {x}^–2… — такие объекты выделяꢀ

ются в бытии по противоположному принципу меньшегоꢀнаꢀбольшем, и в этом

смысле похожи на дырки, а не точки, т. е. области более разряженного бытия

относительно некоторого онтологического фона. Мне вспоминается здесь ввеꢀ

денное Дираком в квантовой электродинамике понимание античастиц как дыꢀ

рок — поꢀвидимому, нечто подобное можно мыслить и для объектов вида {x}ⁿ,

где n < 0.

Итак, расширим множество обобщенных индивидов {x}ⁿи на отрицательꢀ

ные степени. То же сделаем и в отношении к рыхлому множеству — допустим

теперь, что рыхлые множества могут включать в себя и обобщенные индивиды

отрицательной степени. В приведенных выше определениях нужно будет теꢀ

перь допустить, что фигурирующая там степень n может принимать и отрицаꢀ

тельные значения.

Например, индуктивное определение предиката Indⁿтеперь приобретет слеꢀ

дующий вид:

Ind1. Базис:

Ind⁰(x) ≡ Ind(x).

Ind2. Индуктивное предположение:

Indⁿ({x}) ≡ Ind^n–1(x) при n > 0 и Indⁿ({x}^–1) ≡ Ind^{n + 1}(x) при n < 0.

Ind3. Индуктивное замыкание:

никаких иных степенных индивидов нет.

Определим операцию взятия nꢀй степени множества {…}ⁿпо правилу:

{{x}^m}ⁿ= {x}^{m + n}

.

Для обобщенного индивида {x}ⁿ, как отмечалось выше, предполагаем, что он

выделен из фона на степень n. Если n > 0, то {x}ⁿсильнее фона на степень n

(«nꢀточка»). Если n < 0, то {x}ⁿслабее фона на степень |n| («|n|ꢀдырка»). Если

n = 0, то {x}ⁿсливается с фоном («точкаꢀдырка», «виртуальная точка»). Следоваꢀ

тельно, сам по себе индивид х, который дан как х = {x}⁰есть некоторое виртуальꢀ

ное состояние, еще не выделенное из фона, и только взятие его как обобщенноꢀ

го индивида {x}ⁿ, где n > 0, впервые выделяет его из фона, делает некоторой

положительной самостью.

Если х — рыхлое множество, то для него возможны различные представлеꢀ

ния вида

x =_z{{y_α}^{n –m}}^m_α.

α

≡

39

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Например, рыхлое множество {{a}^–2, {b}¹, {c}³} =_z{{a}^–2, {b}¹, {c}³}¹можно

представить следующими способами:

{{a}^–1, {b}², {c}⁴}⁰, {{a}⁰, {b}³, {c}⁵}^–1, {{a}¹, {b}⁴, {c}⁶}^–2, {{a}^–3, {b}⁰, {c}²}²

и так далее.

В связи со степенями множества могут быть введены и степенные теоретиꢀ

коꢀмножественные операции, например объединение степени n:

∪_αⁿ{x_α}ⁿ=_z{x_α}_αⁿ.

Например, ∪_α^–1{x_α}^–1=_z{x_α}_α^–1, то есть допустим,

{{a}⁰}^–1

∪

^–1{{b}³}^–1

∪

^–1{{c}⁵}^–1=_z{{a}⁰, {b}³, {c}⁵}^–1.

На этой основе мы могли бы наконец ввести и предикат принадлежности

степени n, используя следующее соглашение:

x ∈ⁿy ≡ ∃t(y =_z{x}ⁿ∪ⁿt).

Например, исходя из приведенного выше примера, можно было бы запиꢀ

сать, что

{{a}⁰}^–1

∈

^–1{{a}⁰, {b}³, {c}⁵}^–1.

На этой основе, поꢀвидимому, можно было бы развить своеобразную верꢀ

сию теории множеств, но я пока из всех вышеприведенных новых понятий буду

использовать только идею nꢀки a =_z(a₁, a₂, …, a_n) как линейного рыхлого множеꢀ

ства {{a₁}^n–1, {a₂}^n–2, …, {a_n–1}, a_n}. Отсюда видно, например, что при такой интерꢀ

претации nꢀки и введенном выше понимании обобщенных индивидов рыхлое

множество {{a₁}^n–1, {a₂}^n–2, …, {a_n–1}, a_n} представляет собой множество обобщенꢀ

ных индивидов разных неотрицательных степеней, где первый элемент nꢀки

дан с наибольшей силой выделения, а все остальные — с уменьшающимися стеꢀ

пенями выделенности на фоне, обратно их порядковому месту в nꢀке. Мне каꢀ

жется, что такая структура nꢀки как раз выражает нашу систему восприятия

и оценки упорядоченной последовательности из n объектов — мы сначала обꢀ

ращаем внимание на 1ꢀй элемент, потом на 2ꢀй и так далее, менее всего замечая

последний элемент nꢀки, или, можно выразиться и так, что мы более всего выꢀ

деляем первый элемент, слабее — второй и так далее, как бы придавая каждому

элементу nꢀки столько самости и значимости, насколько он приближен к перꢀ

вому элементу в nꢀке.

Множество {{a₁}^n–1, {a₂}^n–2, …, {a_n–1}, a_n} есть целое уровня n в N₁(1, 2)ꢀПолионꢀ

тологии, т. е. мы могли бы показать, что

H_n(a) — nꢀка а есть целое nꢀго уровня.

Наконец, если рассматривать известное определение в теории множеств

nꢀместного отношения R как непустого множества nꢀок, то в N₁(1, 2)ꢀПолионꢀ

тологии можно будет показать, что

≡

40

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 2. Теория множеств

≡

H_{n + 1}(R) — nꢀместное отношение R есть целое (n + 1)ꢀго уровня

Эти утверждения могут быть использованы при рассмотрении, например,

теоретикоꢀмножественной версии теории систем, развиваемой школой М. Меꢀ

саровича.

Как известно, в подходе Месаровича понятие системы вводится как отношеꢀ

ние, понимаемое в теоретикоꢀмножественном смысле. Например, в работе Меꢀ

саровича и Такахары «Общая теория систем: математические основы» ¹мы

находим следующее определение системы: «Отправной точкой всего нашего

исследования служит понятие системы, определенное в теоретикоꢀмножественꢀ

ных терминах. На этом уровне система весьма просто и совершенно естественꢀ

но определяется как отношение на языке теории множеств. Точнее говоря, мы

предполагаем, что задано семейство множеств

⎯V = {V_i: i ∈ I},

где I — множество индексов, и определяем систему, заданную на⎯V, как некотоꢀ

рое собственное подмножество декартова произведения ×⎯V:

S ⊂ × {V_i: i ∈ I}.

Все компоненты V_i, i ∈ I, декартова произведения ×V_iмы называем объектаꢀ

ми системы S. При этом нас будут в основном интересовать системы с двумя

объектами — входным объектом Х и выходным объектом Y:

S ⊂ X × Y.

Система определяется в терминах ее наблюдаемых свойств или, точнее говоꢀ

ря, в терминах взаимосвязей между этими свойствами, а не тем, что они на саꢀ

мом деле собой представляют (т. е. не с помощью физических, биологических,

социальных или других явлений). И это вполне согласуется с самой природой сиꢀ

стемных исследований, направленных на выяснение организации и взаимосвяꢀ

зи элементов системы, а не на изучение конкретных механизмов в рамках данꢀ

ной феноменологической реальности» ².

Подобные соотношения вполне подтверждаются возможностью описанной

выше логики целого на множествах.

1

Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978.

Там же. C. 15—16.

2

Г л а в а

3

Теория категорий

В этой главе я очень кратко коснусь проблем теории категорий, которая сегоꢀ

дня все более претендует на альтернативный подход в основаниях математики.

В связи с этим очень важно показать связи категорных определений и структур

Проективно Модальных Онтологий, некоторые примеры чего и будут приведеꢀ

ны ниже.

§ 1. Определение категорий

Теория категорий — активно развивающееся направление, претендующее сеꢀ

годня на альтернативынй подход к решению проблемы оснований математики,

сравнительно с теоретикоꢀмножественным подходом. Основная идея состоит

в том, чтобы в качестве базовых математических сущностей рассматривать не

множества, но преобразования («стрелки») — разного рода функции, отображеꢀ

ния или «морфизмы». «Одна из главных перспектив, открытых теорией категоꢀ

рий, состоит в том, что понятие стрелки, абстрагированное от понятия функции

или отображения, можно использовать вместо теоретикоꢀмножественного отꢀ

ношения принадлежности в качестве основного строительного блока для проꢀ

ведения математических конструкций и выражения свойств математических

объектов. Вместо того чтобы определять свойства совокупности через ее элеꢀ

менты, т. е. с помощью ее внутренней структуры, можно определять их, указыꢀ

вая внешние связи этой совокупности с другими совокупностями. Связи между

совокупностями выражаются функциями, и аксиомы для категории выводятся

из свойств функций относительно операции композиции» ¹.

Основным объектом теории категорий, как легко понять, является категоꢀ

рия.

В уже цитированной книге Р. Голдблатта «Топосы: Категорный анализ логиꢀ

ки» мы находим следующее определение категории:

1

Голдблатт Р. Топосы: Категорный анализ логики. М.: Мир, 1983. С. 13.

≡

42

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 3. Теория категорий

≡

«Аксиоматическое определение категории. Категория С включает в себя

(1) совокупность предметов, называемых Сꢀобъектами;

(2) совокупность предметов, называемых Сꢀстрелками;

(3) операции, ставящие в соответствие каждой Сꢀстрелке f Сꢀобъект domf

(начало стрелки f) и Сꢀобъект codf (конец стрелки f). Тот факт, что а = domf

и b = codf, изображается так:

f: a → b, или а → ^fb;

(4) операцию, ставящую в соответствие каждой паре <g, f> Сꢀстрелок

с domg = codf Сꢀстрелку gof, композицию f и g, с dom(gof) = domf и cod (g о

f) = codg, т. e. gof: domf → codg, причем выполняется следующее условие.

Закон ассоциативности.

Пусть

а → ^fb → ^gс → ^hd —

конфигурация Сꢀобъектов и Сꢀстрелок. Тогда ho(gof) = (hog)of.

Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма, изображенная на рис. 28,

f

a

b

h

o(gof) =

g

= (hog)o

f

ho

g

gof

d

c

h

Рис. 28. Закон ассоциативности

всегда коммутативна;

(5) сопоставление каждому Сꢀобъекту b Сꢀстрелки 1_b: b → b, называемой

единичной или тождественной стрелкой, так что выполнен

Закон тождества.

Для любых Сꢀстрелок f: a → b и g: b → с

1_bof = f и go1_b= g,

т. е. коммутативна следующая диаграмма (см. рис. 29. — В. М.)» ¹.

f

a

b

f

1_b

g

b

c

g

Рис. 29. Закон тождества

1

Там же. C. 36—37.

≡

43

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

В общем случае коммутативность диаграммы означает, что есть разные пуꢀ

ти, ведущие к одному объекту.

Класс объектов в определении категории обычно не является множеством

в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты соꢀ

ставляют множество, называется малой.

Примеры категорий:

Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множеꢀ

ства, морфизмами — все функции между множествами.

Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отоꢀ

бражения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).

Vect — категория векторных пространств. Морфизмы — линейные преобꢀ

разования.

To p — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные

функции.

Стоит заметить, что в записи f: a → b морфизм f действует на элементы а,

а не на само а, поскольку a = domf — а есть область определения f, а не его аргуꢀ

мент. Когда a и b являются множествами элементов некоторых структур, то заꢀ

данностью a и b предполагается задание и соответствующих структур (со своиꢀ

ми операциями и предикатами), так что отображение f: a → b оказывается

согласованным с этими структурами. Таким образом, хотя, строго говоря, морꢀ

физм f образует из а только новое подмножество в b, но одновременно он соꢀ

храняет соответствующую структуру, характерную для объектов данной катеꢀ

гории (для групп, векторных пространств и т. д.).

§ 2. Категория ментальных многообразий

Ментальные многообразия, как уже отмечалось, — это модели Проективно

Модальных Онтологий, т. е. это такие математические структуры, на которых

интерпретируются формальные языки Проективно Модальных Онтологий.

На классе всех ментальных многообразий можно задать множество гомоꢀ

морфизмов, т. е. однозначных отображений, сохраняющих проективноꢀмоꢀ

дальные отношения. Более строго это можно выразить следующим образом:

Пусть L₁и L₂— два ментальных многообразия (выражаемые спецификаꢀ

торами a и b соответственно), и φ: L₁→ L₂— гомоморфизм из L₁в L₁, т. е.

такое однозначное отображение, действующее на множество модусов, моделей

и модулей, что верно следующее соотношение:

∀a∀b∀c∀d∀f∀h∃a*∃b*∃c*∃d*∃f*∃h*(Mod(a, b, c, f, d, h, α) ∧ Mod(a*, b*, c*, f*,

d*, h*, β) ∧ a* =^β1φ(a) ∧ b* =^β2φ(b) ∧ c* =^β3φ(c) ∧ d* =^β5φ(d)).

Здесь равенство =^βk— это βꢀравенство kꢀобъектов по всем остальным проекꢀ

тивноꢀмодальным объектам, где k = 1, …, 6. Например, равенство =^β3— это раꢀ

β3

венство =

, т. е. равенство моделей по всем остальным проективноꢀмодальꢀ

12456

ным объектам.

≡

44

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 3. Теория категорий

≡

Надо также заметить, что отображение φ, как и всякий гомоморфизм, дейстꢀ

вует только на элементы ментальных многообразий, т. е. на модусы, модели

и модули (моды отдельно не выделяются, поскольку это те же модусы). Что каꢀ

сается проекторов и сюръекторов, то они могут быть рассмотрены как операꢀ

ции, заданные на элементах структуры. Поэтому выше отображение φ не опреꢀ

делялось для проекторов и сюръекторов. Эти функторы как бы создаются не

отображением φ, но обеспечиваются заданностью самой структуры ментальꢀ

ных многообразий на классах своих элементов.

Гомоморфизмы вида φ: L₁→ L₂можно называть проективноꢀмодальными

гомоморфизмами. Они сохраняют проективноꢀмодальную структуру ментальꢀ

ных многообразий, хотя могут делать ее более бедной, сопоставляя нескольким

разным в L₁элементам один элемент в L₂.

В качестве категории MM ментальных многообразий теперь можно рассмотꢀ

реть категорию на всех ментальных многообразиях как своих объектах, с морꢀ

физмами как проективноꢀмодальными гомоморфизмами. Это в самом деле

категория, поскольку для гомоморфизмов определена ассоциативная композиꢀ

ция, а в качестве тождественной стрелки выступает единственное тождественꢀ

ное отображение ментального многообразия на себя.

§ 3. Категории как ментальные многообразия

Теперь мне хотелось бы представить еще одну важную возможность связи идей

Проективно Модальных Онтологий и теории категорий.

Мы можем не только построить категорию ментальных многообразий на

всех ментальных многообразиях, но и представить каждую категорию как слуꢀ

чай специального ментального многообразия.

В самом деле, пусть дана некоторая категория С с классом объектов Ob_C

и классом морфизмов Mor_C. Если дан морфизм f: a → b, то обозначим через s(a)

и s(b) соответствующие структуры, имеющие в качестве классов своих элеменꢀ

тов классы a и b соответственно. Далее расширим морфизмы f до отображений

f*(s(a)) = s(b). Полагаем, что

f*(s(a)) = s(b) если только если f: a → b.

Особенность стрелок f* в том, что они определены на целых струкурах s(a)

как своих аргументах, в то время как функции f в общем случае могут быть

определены только на классах элементов структур, т. е. в качестве их аргуменꢀ

тов выступают отдельные элементы структур. Категорию с морфизмами f* обоꢀ

значим через С*. По построению она изоморфна категории С.

Категория С* может быть представлена как случай Проективно Модальной

Онтологии с функциональным проектором ↓₁^func, где

f*↓₁^func(s(a)) = f*(s(a)).

≡

45

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Нужно будет только пополнить множество моделей в этом случае модельꢀ

ными единицами для морфизмов f* и иметь в виду, что морфизмыꢀмодусы f*

и их моды f*(s(a)) являются объектами разных категориальных типов, так что

нам вновь понадобятся конструкции Проективно Модальных Онтологий с пеꢀ

ременными категориальными типами, чтобы единым образом выразить конꢀ

струкцию модуса в этих Онтологиях.

При такой интерпретации категории выступают в качестве ментальных

многообразий, в качестве модусов которых представлены стрелки и объекты

категории (стрелки — динамические модусы, объекты — статические модусы),

а моделями окажутся модельные единицы всех модусов и объекты категории.

В качестве проекторов выступают функциональные проекторы аппликации

↓

^func, обратными сюръекторами для которых окажутся лямбдаꢀоператоры

1

λs(a)[f*(s(a))] = f*. В этом случае модулями опять выступят либо модульные

единицы всех модусов, либо объекты категории.

Возможность представления категорий как ментальных многообразий поꢀ

зволяет соединить категориальную интерпретацию теории категорий с категоꢀ

риальной системой категории многоединого. В то же время теория категорий

оказывается одним из частных структурных выражений категории многоедиꢀ

ного (в лице одного из видов ментальных многообразий), и аксиоматика Проꢀ

ективно Модальных Онтологий позволяет представить в качестве ментальных

многообразий такие виды структур, которые в то же время не являются категоꢀ

риями, в то время как любая категория может быть представлена как ментальꢀ

ное многообразие, как это было описано выше. Хотя все ментальные многообꢀ

разия образуют категорию ММ, но отдельные ментальные многообразия могут

не быть категориями. С этой точки зрения, аксиоматика Проективно Модальꢀ

ных Онтологий кажется более универсальным языком структурного представꢀ

ления категории многоединого.

Г л а в а

4

Онтология числа

§ 1. Проективноꢀмодальная структура натуральных чисел

Что есть первое? Первое есть то, что ни от чего не зависит, но все прочее завиꢀ

сит от него. Только первое может появиться, когда еще нет ничего иного. Что

есть второе? Это то, что зависит только от первого и больше ни от чего. Второе

может появиться сразу после первого. Если 1 — первое, и 2 — второе, то здесь

имеем: 1 = 1↓1 — первое равно своей моде самобытия. Для второго получим:

2 = 2↓2 ⊕ 2↓1 — второе равно сумме своей моды самобытия и моды инобытия

относительно первого.

Для выражения этих идей рассмотрим некоторую 5↓_num↑_numNumꢀОнтологию

с предикатом Mod(x, y, z, ↓_num, t, ↑_num, num) и следующей дополнительной нотаꢀ

цией и аксиоматикой.

Аксиомы Пеано:

(Num1)

(Num2)

Num(1) — аксиома единицы.

Num(x) ⊃ Num(x + 1) — аксиома последующего

натурального числа.

(Num3)

Num(x) ∧ Num(y) ∧ (x + 1 =_numy + 1) ⊃ (x =_numy) —

аксиома инъективности.

(Num4)

(Num5)

Num(x) ⊃ ⎤((x + 1) =_num1) — аксиома линейности.

P(1) ∧ ∀x(Num(x) ∧ P(x) ⊃ P(x + 1)) ⊃ ∀x(Num(x) ⊃ P(x)) —

аксиома индукции (Р — переменная по свойствам).

В этих аксиомах вводится предикат Num — «быть натуральным числом».

Символ «+» обозначает некоторую двуместную операцию («сложение»).

Введем определения равенства и порядка на натуральных числах.

(D<)

x <_numy ≡ Num(x) ∧ Num(y) ∧ ∀z(Mod²³⁴⁶⁷(x, z, ↓_num, ↑_num, num) ⊃

⊃ Mod²³⁴⁶⁷(y, z, ↓_num, ↑_num, num)) ∧ ∃t(Mod²³⁴⁶⁷(y, t, ↓_num, ↑_num, num) ∧

∧ ⎤Mod²³⁴⁶⁷(x, t, ↓_num, ↑_num, num))) —

определяется отношение порядка на натуральных числах.

≡

47

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

(D=)

x =_numy ≡ Num(x) ∧ Num(y) ∧ ∀z(Mod²³⁴⁶⁷(x, z, ↓_num, ↑_num, num) ≡

≡ Mod²³⁴⁶⁷(y, z, ↓_num, ↑_num, Num)) —

определяется равенство на натуральных числах.

Замечу, что равенство =_num— это равенство =^num₃², т. е. равенство numꢀмодуꢀ

сов по numꢀмоделям, и для слабого варианта этого равенства может быть приꢀ

нят в 7numꢀОнтологии закон экстенсиональности LE^num2

:

3

(LE^num2

откуда можно вывести

Теорема 1

)

x ≈^num₃²y ⊃ ∀F{F(x) ≡ F(y)},

3

x =_numy ⊃ ∀F{F(x) ≡ F(y)}.

И равенство и порядок определяются на основе отношения множеств numꢀ

моделей натуральных чисел. Именно множества моделей определяют область

зависимости и, следовательно, порядок на натуральных числах, как это видно

из нижеследующих аксиом.

Аксиомы координации предикатов Num и Mod:

(NM1)

(NM2)

Num(x) ⊃ Mod²³⁴⁶⁷(x, x, ↓_num, ↑_num, num) — аксиома самозависимости.

∀x(Mod²³⁴⁶⁷(1, x, ↓_num, ↑_num, num) ⊃ x =_num1) — аксиома

модельной единственности для единицы.

(NM3) ∀y(Mod²³⁴⁶⁷(x + 1, y, ↓_num, ↑_num, num) ≡ (y =_numx + 1) ∨ Mod²³⁴⁶⁷(x, y, ↓_num

,

↑

_num, num)) — аксиома множества моделей последующего числа.

Аксиомы булевой алгебы на numꢀмодусах:

AN^num

AS^num

.

∃aNModa(a, num) — аксиома существования нулевой numꢀмоды.

Moda(a, num) ∧ Moda(b, num) ∧ ⎤(a ε^numb) ⊃ ∃x(b ε₁^numx ∧

∧ ∀y(x ε₁^numy ⊃ ⎤(a ε^numy))) — аксиома numꢀотделимости.

.

Последние две аксиомы позволяют ввести булеву алгебру на numꢀмодусах.

Определим нулевую numꢀмоду.

(D01^num

(D02^num

)

Mod¹²⁴⁶⁷(x, 0_num, ↓_num, ↑_num, num) ≡ NModa(x, num).

Mod¹²⁴⁶⁷(0_num, x, ↓_num, ↑_num, num) ≡ Mod²⁴⁶⁷(x, ↓_num, ↑_num, num).

Теорема 2

Mod¹²⁴⁶⁷(1, 1, ↓_num, ↑_num, num) ∧ ∀x(Mod²³⁴⁶⁷(1, x, ↓_num, ↑_num, num) ⊃ x =_num1).

Доказательство

(1) Num(1)

(Num1)

(NM1)

подстановка 1 на место х в (2)

MP (1), (3)

(2) Num(x) ⊃ Mod²³⁴⁶⁷(x, x, ↓_num, ↑_num, num)

(3) Num(1) ⊃ Mod²³⁴⁶⁷(1, 1, ↓_num, ↑_num, num)

(4) Mod²³⁴⁶⁷(1, 1, ↓_num, ↑_num, num)

(5) ∀x(Mod²³⁴⁶⁷(1, x, ↓_num, ↑_num, num) ⊃ x =_num1) (NM2)

≡

48

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

(6) Mod²³⁴⁶⁷(1, 1, ↓_num, ↑_num, num) ∧

∧ ∀x(Mod²³⁴⁶⁷(1, x, ↓_num, ↑_num, num) ⊃ x =_num1) ∧ꢀвведение (4), (5)

Теорема 2 утверждает, что у единицы имеется только однаꢀединственная

numꢀмодель — это сама единица.

Будем через 2 сокращать 1 + 1, через 3 — (2 + 1) и т. д.

Теорема 3

Num(2)

Доказательство

(1) Num(1)

(Num1)

(2) Num(x) ⊃ Num(x + 1)

(3) Num(1) ⊃ Num(1 + 1)

(4) Num(1 + 1)

(Num2)

подстановка 1 на место х в (2)

MP (1), (3)

Введем двуместный предикат

(Dep)

Dep(x, y, num) ≡ Mod²³⁴⁶⁷(x, y, ↓_num, ↑_num, num) — x numꢀзависит от y.

Тогда введенные выше аксиомы и определения для натуральных чисел можꢀ

но переписать в следующем виде:

(D<)

x <_numy ≡ Num(x) ∧ Num(y) ∧ ∀z(Dep(x, z, Num) ⊃

⊃ Dep(y, z, Num)) ∧ ∃t(Dep(y, t, Num) ∧ ⎤Dep(x, t, Num))).

(D=)

x =_numy ≡ Num(x) ∧ Num(y) ∧ ∀z(Dep(x, z, Num) ≡ Dep(y, z, Num)).

(NM1)

(NM2)

(NM3)

Num(x) ⊃ Dep(x, x, Num).

∀x(Dep(1, x, Num) ⊃ x =_num1).

∀y(Dep(x+1, y, Num) ≡ (y =_numx+1) ∨ Dep(x, y, Num)).

Такие формулировки как раз выражают отношения между натуральными

числами на основе их областей зависимости. Единица имеет минимальную

область зависимости, включающую только саму единицу. Двойка имеет послеꢀ

дующую область зависимости, включающую единицу и двойку, и т. д. Именно

поэтому единица является первой, двойка — второй, и т. д. Например, двойка

сможет возникнуть лишь после того, как возникнет единица, иначе у двойки не

сможет возникнуть мода 2↓_num1, без которой не возникнет и вся двойка как

numꢀмодус.

Лемма 1

Mod²⁴⁶⁷(2↓_num1, ↓_num, ↑_num, num) ∧ Mod²⁴⁶⁷(2↓_num2, ↓_num, ↑_num, num).

Теорема 4

2 =^num(2↓_num2) Е^num(2↓_num1).

Доказательство (см. Приложение 14)

≡

49

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Можно заметить, что numꢀмодусами являются не только натуральные числа

1, 2, 3…, но и, например, нулевая numꢀмода, numꢀмоды натуральных чисел, отꢀ

личные от самих чисел. Средствами numꢀОнтологии мы можем, в дополнение

к обычной арифметике, определить и исследовать проективноꢀмодальную

структуру натуральных чисел.

Наконец, мы можем доказать теоремы, выражающие интуиции порядка заꢀ

висимостей на натуральных числах.

∀x(Dep(1, x, num) ⊃ (x =_num1)) — единица numꢀзависит только от себя (это

аксиома (NM2)).

Теорема 5

∀x(Dep(2, x, num) ⊃ (x =_num1 ∨ x =_num2)) —

двойка numꢀзависит только от единицы или от себя.

В дополнении к 5numꢀОнтологии можно ввести 7NumꢀОнтологию, в рамках

которой также можно воспроизвести булеву алгебру, и каждое натуральное

число будет больше предшествующего числа на Numꢀатом:

(1Num)

(2Num)

(3Num)

At(1, Num).

Num(x+1) ⊃ Mod¹²⁷(x, x+1, Num) ∧ ⎤Mod¹²⁷(x+1, x, Num).

Num(x+1) ⊃ ∀y∀z(Mod¹²⁷(y, (x+1), Num) ∧

⎤Mod¹²⁷(y, x, Num) ∧ Mod¹²⁷(z, y, Num) ∧ PModa(y, Num) ∧

∧ PModa(z, Num) ⊃ Mod¹²⁷(y, z, Num)).

В частности, можно будет ввести модус N как Numꢀсумму всех натуральных

чисел. Модус N будет выражать конкретноꢀобщее понятие натурального числа.

Далее можно ввести 7NatꢀОнтологию, в рамках которой все натуральные

числа будут представлены как различные Natꢀатомы:

(1NAt)

(2NAt)

At(1, NAt).

At(x, NAt) ∧ Num(x) ⊃ At(x+1, NAt) ∧ ⎤Mod¹²⁷(x, x+1, NAt).

Наконец, можно использовать такую 7NMonoꢀОнтологию, в которой все наꢀ

туральные числа суть один NMonoꢀатом:

(1NMono)

(2NMono)

At(1, NMono).

Num(x) ∧ Num(y) ⊃ (x =^NMonoy).

Так природа натурального числа оказывается многоплановой, выражаясь

в разных Проективно Модальных Онтологиях разными сторонами. В натуральꢀ

ных числах есть момент упорядочивающих зависимостей, как это отражено

в numꢀОнтологии. Каждое натуральное число состоит из множества единицꢀ

атомов, как это выражено в NumꢀОнтологии. Каждое натуральное число с неꢀ

которой точки зрения есть индивидуальная единицаꢀатом, что выражается

NAtꢀОнтологией. Наконец, в некотором предельном смысле все натуральные

числа — нумерические размножения одной единицыꢀатома (монады), предꢀ

ставленной средствами NMonoꢀОнтологии.

≡

50

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

§ 2. К системе рационального обеспечения

минимальной бесконечности

В этом параграфе я хотел бы попытаться очертить систему смыслов, выражаꢀ

ющих идею бесконечности, по крайней мере, в ее минимальном варианте.

Когда мы задумываемся об идее бесконечности, то самое простое, что приꢀ

ходит в голову — это натуральный ряд чисел. Мы думаем: «один, два, три и так

далее», что символически выражается в виде записи 1, 2, 3…, т. е. многоточие

передает пресловутое «и так далее». Но что это за «так далее» — вот в этом вся

проблема. Мы представляем, поꢀвидимому, некоторую цепочку объектовꢀедиꢀ

ниц, следующих друг за другом и уходящих в какойꢀто смысловой туман этого

самого «и так далее». То есть дан как бы какойꢀто начальный отрезок цепочки,

например, 1, 2, 3, а за ним туман «и так далее» — многоточия. Можно было бы

еще добавить, что мы всегда можем прыгнуть в этот туман, попытавшись проꢀ

яснить, что именно там происходит. Но и там мы увидим примерно такую же

картину — какойꢀто проявленный отрезок n, n + 1, n + 2 и опять новый туман

с новым «и так далее». Примерно таким образом представляется первоначальꢀ

ная попытка выразить идею бесконечности натурального числа, и такое состояꢀ

ние выражения конечно же неудовлетворительно. Здесь еще смешаны идеи

с образами, в то время как хотелось бы в максимальной степени дать в этом

случае идейное выражение концепта «бесконечность». Итак, какова же та сисꢀ

тема идей, которая мыслится нами в случае минимальной бесконечности натуꢀ

ральных чисел?

Можно было бы сразу ответить — зачем мучиться? Возьмите аксиоматику

Пеано и там все выражено в форме чистых идей. Не будет никакого тумана.

В самом деле, в аксиомах натуральных чисел Пеано кажется выраженным

все, что нам нужно. Это, можно сказать, и есть аксиоматика минимальной бесꢀ

конечности.

Приведем список этих аксиом.

Num1.

Num2.

Num3.

Num4.

Num5.

Num(1).

Num(n) ⊃ Num(S(n)).

Num(n) ∧ Num(m) ∧ (S(n) = S(m)) ⊃ n = m.

Num(n) ⊃ ⎤(S(n) = 1).

P(1) ∧ ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n))) ⊃ ∀n(Num(n) ⊃ P(n)).

Подобная система аксиом предполагает язык предикатов первого порядка

с равенством = ¹, где присутствуют константа 1, одноместный функциональный

символ S и одноместный предикатный символ Num. n и m — индивидные переꢀ

менные. Обычная интерпретация состоит в том, что 1 понимается как имя едиꢀ

ницы, S — как имя функции «следующий за» и Num — как имя предиката

«быть натуральным числом». Таким образом, первая аксиома утверждает, что

1

В частности, принимаются аксиомы равенства — свойства эквивалентности и подстановка.

≡

51

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

единица — натуральное число. Вторая аксиома обеспечивает перенос свойства

«быть натуральным числом» на следующий элемент за уже построенным натуꢀ

ральным числом. Третья аксиома обеспечивает инъективность отображения S,

т. е. разным аргументам функция S сопоставляет разные образы ¹. В четвертой

аксиоме запрещаются стартовые циклы — возвраты какогоꢀто образа функции

S к начальному элементу. Наконец, пятая аксиома, аксиома индукции, позволяꢀ

ет переносить свойства Р на все натуральные числа (точнее, это схема аксиом,

где Р является переменной метаязыка по одноместным предикатам объектного

языка).

Можем ли мы в этом случае быть уверенными, что, в согласии с аксиомами

Пеано, будет возникать бесконечная линейная цепочка натуральных чисел? Да,

это в самом деле так. Например, используя схему индукции, можно доказать теоꢀ

рему смежного неравенства:

Теорема смежного неравенства

∀n(Num(n) ⊃ ⎤(n = S(n)).

Сначала мы докажем эту теорему для n = 1, используя аксиому Num4, а заꢀ

тем, оперируя индуктивным предположением ⎤(n = S(n)), отсюда, согласно

Num3*, сможем вывести ⎤(S(n) = SS(n)), что обеспечивает индуктивное предꢀ

положение теоремы.

Таким образом, согласно теореме смежного неравенства, следующий элеꢀ

мент всегда отличен от предыдущего, а четвертая аксиома нам гарантирует, что

цепочка никогда не вернется к первому элементу. Кроме того, аксиома Num3

налагает запрет на образование нестартовых циклов, когда могли бы быть возꢀ

враты к непервому элементу — в этом случае для двух разных чисел окажутся

равными следующие за ними числа, что противоречит Num3*. Так может быть

гарантирована бесконечная линейная структура натуральных чисел как струкꢀ

тура минимальной бесконечности ².

Вот, казалось бы, задача и решена — аксиоматика Пеано обеспечивает нам

прояснение того тумана, который первоначально застилал нам глаза в понимаꢀ

нии идеи минимальной бесконечности натуральных чисел. Туман рассеялся,

разум проснулся, чудовища разлетелись!

Но я хотел бы поставить вопрос более глубоко, предположив следующее. Да,

аксиоматика Пеано разъясняет вопрос на том уровне дифференцированности

системы смыслов, который общепринят в современной математике. Что же каꢀ

сается более глубокого категориального анализа той же самой системы смысꢀ

лов, то здесь может оставаться еще множество разного рода проблем. Одна из

важнейших проблем этого рода — проблема переменной по натуральным чисꢀ

лам и ее использования в аксиоматике Пеано. Что такое переменная n и как она

1

Точнее говоря, это равносильное аксиоме Num3 утверждение вида:

Num3*.

Num(n) ∧ Num(m) ∧ ⎤(n = m) ⊃ ⎤(S(n) = S(m)).

2

В смысле мощности счетной бесконечности как минимального бесконечного кардинала.

≡

52

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

работает в этой аксиоматике — все эти и подобные им вопросы оказываются не

до конца разъясненными в рамках математического формализма, но осваиваꢀ

ются математиками невербально, в живом опыте передачи математических

знаний (используя терминологию Куна, это знание можно было бы отнести

к неявной метафизике существующей математической парадигмы).

В доказательство существующих здесь проблем я приведу один, но достаточꢀ

но показательный пример.

Например, когда я в своем опыте преподавания математики и логики долꢀ

жен был объяснять идею индуктивных определений или теорем, то, как правиꢀ

ло, у студентов возникали трудности понимания индуктивного предположения

при первом столкновении с этой темой. Например, в аксиоматике Пеано имеем

индуктивное предположение в виде формулы

Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n)).

Полагая, что уже доказана формула Num(n), получим это предположение

в виде

P(n) ⊃ P(S(n)).

В этом случае студент может не вполне понимать, что перед ним в формуле

дан некоторый сгусток бесконечности в виде возможности обращения этой

формулы на свои результаты. Коль скоро S(n) — это опять натуральное число,

для которого выполнено свойство Р, то оно вновь подпадает под действие инꢀ

дуктивного предположения по той же самой схеме, так что еще раз доказывать

предположение не надо — достаточно это сделать лишь один раз.

Такого рода трудность как раз связана с определенной тонкостью в понимаꢀ

нии переменной n. С одной стороны, в рамках одного контекста, переменная n

оказывается отличной от S(n) — это контекст проведения одного цикла индукꢀ

тивного предположения (внутрицикловой контекст). С другой стороны, если

мы переходим от одного такого цикла к другому, то мы можем обозначить S(n)

через n, вновь обходясь той же формулой P(n) ⊃ P(S(n)) индуктивного предпоꢀ

ложения. Именно такого рода возможность переобозначить S(n) через n позвоꢀ

ляет нам обойтись всего лишь одной формулой P(n) ⊃ P(S(n)), а не писать

здесь бесконечно много формул вида:

P(n) ⊃ P(S(n)),

P(S(n)) ⊃ P(SS(n)),

P(SS(n)) ⊃ P(SSS(n)) и т. д.

Следовательно, очень важную роль в финитном представлении бесконечноꢀ

сти играет еще один контекст определения переменной n, контекст перехода от

одного цикла индуктивного предположения к другому (межцикловой конꢀ

текст), в рамках которого происходит отождествление S(n) и n. Только благоꢀ

даря такому отождествлению удается захлопнуть выражение бесконечности

в один повторяющийся цикл и дать финитное представление идеи бесконечности.

≡

53

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

В математическом образовании обычно явным образом указывается лишь

внутрицикловой контекст определения переменной n (именно он выражен

в формулировке индуктивного предположения), подчеркивающий различие n

и S(n) (вспомним о Теореме смежного неравенства), в то время как для полного

уяснения работы индуктивного предположения важно понимание обоих конꢀ

текстов — вот почему у вновь сталкивающихся с этой проблемой студентов моꢀ

гут возникать определенные трудности.

Но педагогическая трудность — это лишь симптом более глубокой концепꢀ

туальной проблемы в этой области. И связана она как раз с понятием переменꢀ

ной и ее работой в аксиоме индукции.

Попробуем теперь выразить более формально описанные выше контекстуꢀ

альные использования переменной в индуктивном предположении.

Особенный интерес представляет здесь формализация межциклового конꢀ

текста, поскольку внутрицикловой контекст по сути уже выражен в аксиоматиꢀ

ке Пеано.

Как уже отмечалось, при переходе от одного цикла к другому происходит

отождествление переменной n с ее результатом S(n) из предыдущего цикла инꢀ

дуктивного предположения. Формально выражаясь, здесь должно выполнятьꢀ

ся соотношение n = S(n). Но если мы в таком виде примем формулу, добавив ее

к аксиоматике Пеано, то возникнет противоречие с Теоремой смежного нераꢀ

венства. В связи с этим здесь необходимо какоеꢀто не столь простое решение.

Дело мне представляется таким образом, что в рамках каждого контекста

фигурирует не вообще переменная n (далее я буду называть ее глобальной переꢀ

менной), но некоторое ее контекстное сужение, которое также остается переꢀ

менной, но в рамках только внутрициклового контекста одного цикла. Обознаꢀ

чим эту контекстную переменную одного цикла через символ n↓. Тогда, точнее

говоря, аксиома индукции должна быть записана не вообще для переменной n,

но для ее контекстного сужения n↓ (эту переменную я далее буду называть

внутрицикловой переменной или локальной переменной). Аксиома индукции

приобретет следующий вид:

Num5*.

P(1) ∧ ∀n↓(Num(n↓) ∧ P(n↓) ⊃ P(S(n↓))) ⊃ ∀n(Num(n) ⊃ P(n)).

Здесь внутрицикловая переменная n↓ фигурирует только в рамках одного

цикла индуктивного предположения ∀n↓(Num(n↓) ∧ P(n↓) ⊃ P(S(n↓))) ¹, в то

время как заключение индукции ∀n(Num(n) ⊃ P(n)), охватывающее все цикꢀ

лы, продолжает формулироваться в терминах глобальной переменной n.

В отношении к переменной n внутрицикловая переменная n↓ дана так же,

как переменная в отношении к параметру (т. е. как более локальная переменная

в отношении к более глобальной). Переменная n↓ выполняет функции переꢀ

менной только в контексте одного цикла P(n↓) ⊃ P(S(n↓)), в то время как пеꢀ

1

Квантор всеобщности, как и для глобальной переменной, имеет здесь отношение к частным

значениям локальной переменной, а не к разным локальным переменным.

≡

54

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

ременная n действует для всех циклов. Далее такое отношение я буду связывать

с проективноꢀмодальным отношением, полагая, что переменная n↓ является

нетождественной модой переменной n в рамках некоторой aꢀОнтологии, то

есть верно Mod¹²⁷(n↓, n, a).

Когда же происходит переход к новому циклу, то здесь возникает новая

внутрицикловая переменная n↓*, определяющаяся как следующая за переменꢀ

ной n↓ соотношением n↓* = S(n↓). Таким образом, противоречивое соотношеꢀ

ние n = S(n) мы заменяем непротиворечивым n↓* = S(n↓), используя понятие

внутрицикловых переменных.

В целом ситуация начинает теперь выглядеть следующим образом.

В рамках некоторого цикла индуктивного предположения глобальная переꢀ

менная n сужается до своей αꢀмоды внутрицикловой переменной n↓, которая

участвует в работе этого цикла. Затем разворачивается переход к новому циклу,

и в течение этого перехода как некоторого самостоятельного периода функциоꢀ

нирования индуктивного определения происходит возникновение нового суꢀ

жения глобальной переменной n↓*, которое определяется в отношении следуꢀ

ющего, n↓* = S(n↓), к предыдущей внутрицикловой переменной n↓. Переход от

одной локальной переменной n↓ к следующей n↓* можно представить как пеꢀ

реход от одной моды к другой через общий им модус глобальной переменной n,

т. е. как действие некоторого интегродифференциала в αꢀОнтологии. Так проꢀ

исходит сужение и расширение в двух смежных циклах и переходе между ними

в индуктивном предположении. Глобальная переменная сужается до своей

внутрицикловой переменной, а последняя расширяется до первой, чтобы пеꢀ

рейти в следующую моду глобальной переменной. Для типичного описания

этого процесса достаточно описания двух циклов и одного перехода между цикꢀ

лами. Хотелось бы подчеркнуть, что здесь не рассматривается бесконечно мноꢀ

го циклов подобного рода, но только два цикла и один переход, в том числе

только две локальные переменные n↓ и n↓*. Более двух циклов может рассматꢀ

риваться для самих натуральных чисел (при подстановке констант на места

вхождения n в P(n) ⊃ P(S(n)) или n↓ в P(n↓) ⊃ P(S(n↓))), но опятьꢀтаки это

вновь может быть только конечное число циклов. Иными словами, пока у нас

везде финитные структуры выражения идеи бесконечности.

Но вот здесьꢀто и возникает отличие от аксиоматики Пеано, где предполагаꢀ

ется типичное описание только одного цикла.

Следовательно, мы должны дополнить аксиоматику минимальной бескоꢀ

нечности тем типичным преобразованием, которое совершается 1) при перехоꢀ

де от одного цикла индуктивного предположения к другому и 2) в новом цикле.

Такое преобразование затронет только представление пятой аксиомы — аксиоꢀ

мы индукции. Ее более полную формулировку теперь можно представить слеꢀ

дующим образом:

Num5**.

[P(1) ∧ ∀n↓(Num(n↓) ∧ P(n↓) ⊃ P(S(n↓))) ∧

∀n↓*∀n↓(Num(n↓) ∧ Num(n↓*) ⊃ (n↓* = S(n↓))) ∧

∧ ∀n↓*(Num(n↓*) ∧ P(n↓*) Й P(S(n↓*)))] ⊃ ∀n(Num(n) ⊃ P(n)) —

≡

55

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

к уточненной внутрицикловыми переменными формулировке Num5* добавлеꢀ

но соотношение ∀n↓*»n↓(Num(n↓) ∧ Num(n↓*) ⊃ (n↓* = S(n↓))) между внутриꢀ

цикловыми переменными n↓* и n↓ смежных циклов, что и представляет собой

явное выражение того, что именно происходит при переходе от одного цикла

индуктивного предположения к другому, а также добавлено описание следуꢀ

ющего цикла ∀n↓*(Num(n↓*) ∧ P(n↓*) ⊃ P(S(n↓*))) индуктивного предполоꢀ

жения.

В этом случае мы пытаемся передать не только то, что выражается переменꢀ

ной относительно частных значений (я буду называть его операциональным моꢀ

ментом определения переменной), но и тот момент взаимной структурированꢀ

ности, который связывает между собой глобальные и локальные переменные

(его можно назвать структурным моментом определения переменных). Хотя

с точки зрения подстановки частных значений (констант) структурный момент

может выступать как тавтологичный (избыточный), но он имеет самостоятельꢀ

ное значение в показе более иерерахически высокой структуризации глобальных

и локальных переменных, надстоящей над уровнем частных значений переменꢀ

ных. Поскольку в современной математике аксиоматика явно не выражает отꢀ

ношение глобальных и локальных переменных, то указанный структурный моꢀ

мент в ней отсутствует.

Имея в виду эту более дифференцированную формулировку аксиомы индукꢀ

ции, нам нужно теперь сделать нечто большее, чем это прописано в аксиоматиꢀ

ке Пеано. Нам необходимо, кроме доказательства индуктивного предположеꢀ

ния одного цикла ∀n↓(Num(n↓) ∧ P(n↓) ⊃ P(S(n↓))),

1) доказать условие соотношения между смежными внутрицикловыми пеꢀ

ременными ∀n↓*∀n↓(Num(n↓) ∧ Num(n↓*) ⊃ (n↓* = S(n↓))),

2) доказать

индуктивное

предположение

для

следующего

цикла

∀n↓*(Num(n↓*) ∧ P(n↓*) ⊃ P(S(n↓*))).

Задача доказательств индуктивных предположений смежных циклов не

представляет собой нечто операционально новое относительно доказательства

классического индуктивного предположения и может быть решена подстановꢀ

кой n↓ и n↓* на место n (см. ниже Теорему классической индукции).

Что же касается первой задачи, то ее невозможно решить иначе, кроме как

постулировав в качестве дополнительной аксиомы.

Следовательно, к аксиомам Пеано (при переформулировке Num5 в Num5**)

мы должны добавить шестую аксиому:

Num6.

∀n↓*∀n↓(Num(n↓) ∧ Num(n↓*) ⊃ (n↓* = S(n↓))).

Теперь дано более полное описание аксиоматики минимальной бесконечноꢀ

сти. Это аксиомы Num1—4, Num5**, Num6. Такую систему аксиом я буду далее

называть системой аксиом минимальной бесконечности.

Под Теорией минимальной бесконечности теперь можно понимать теорию

с указанной системой аксиом, дополненную аксиоматикой подходящей Проекꢀ

тивно Модальной Онтологии, где, в частности, внутрицикловые переменные n↓

≡

56

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

и n↓* будут представлены как моды глобальной переменной n, то есть верно

Mod¹²⁷(n↓, n, a) и Mod¹²⁷(n↓*, n, a) для некоторого спецификатора α¹. Также

и все константы натуральных чисел будут в этом случае являться αꢀмодами как

локальных, так и глобальной переменной. Например, Mod¹²⁷(1, n↓, α),

Mod¹²⁷(S(1), n↓*, α), Mod¹²⁷(SS(1), n, α).

Используя аксиомы Num5** и Num6, мы можем доказать классическую акꢀ

сиому индукции в качестве теоремы.

Теорема классической индукции

P(1) ∧ ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n))) ⊃ ∀n(Num(n) ⊃ P(n)).

Доказательство (см. Приложение 15)

Приведенное доказательство можно прокомментировать следующим обраꢀ

зом. Из классического индуктивного предположения ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃

⊃ P(S(n))) подстановкой на место терма n термов n↓ и n↓* и последующим ввеꢀ

дением квантора ∀ по локальным переменным n↓ и n↓* получаем описание инꢀ

дуктивного предположения смежных циклов, а затем используем аксиому

Num6, чтобы получить индуктивное заключение ∀n(Num(n) ⊃ P(n)) из аксиоꢀ

мы Num5**.

Таким образом, мы имеем и возможность более дифференцированного

описания того, что происходит в выражении идеи минимальной бесконечности

(в первую очередь это относится к выражению структурного момента опредеꢀ

ления переменных), и ресурсы столь же простой системы индуктивного доказаꢀ

тельства, что и в классическом случае.

Следует, конечно, иметь в виду, что введение внутрицикловых переменных

может привести к ряду особенностей правил логического вывода. Здесь пока

можно придерживаться того правила, что внутрицикловые переменные в отноꢀ

шении к глобальным переменным ведут себя так же, как константы, а в отношеꢀ

нии к константам и в рамках контекста своего цикла — как глобальные переꢀ

менные. В частности, возможно введение квантора всеобщности по локальной

переменной при предварительном его снятии с глобальной переменной (строчꢀ

ки (5) и (7) в доказательстве Теоремы классической индукции) и при снятии

предпосылок с локальными переменными, если только вся выводимость ограꢀ

ничивалась контекстом соответствующего цикла (например, в выводимости не

используются формулы, объединяющие в структуре одного цикла локальные

переменные разных циклов n↓ и n↓*).

И все же проведенное дополнение аксиоматики минимальной бесконечноꢀ

сти не кажется еще окончательным. Дело в том, что, как было сказано выше,

важную роль в мышлении идеи бесконечности играет момент отождествления

n = S(n), осуществляемого между циклами и позволяющего вообще обойтись

только глобальной переменной, одним циклом и одним переходом в структуре

индуктивного предположения. При использовании локальных переменных

1

Здесь могло бы быть использовано, например, подходящее расширение 3funcꢀОнтологии.

≡

57

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

у нас хотя и дан один переход, но два цикла. Как уже было замечено выше, доꢀ

пустить один цикл и один переход можно только в рамках противоречивого

представления Теории минимальной бесконечности. Ниже я хотел бы сделать

ряд замечаний по этому поводу, предполагая, что не стоит вполне изгонять из

теории бесконечности идею противоречия, поскольку эти две идеи (бесконечꢀ

ности и противоречия) оказываются тесно связанными между собой.

Чтобы выразить связь Теории минимальной бесконечности с идеей протиꢀ

воречия, сделаем вот какое преобразование.

Возьмем аксиому Num5** и заменим все вхождения переменных в ней глоꢀ

бальной переменной n.

Получим формулу:

Num5∆.

[P(1) ∧ ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n))) ∧ ∀n∀n(Num(n) ∧

∧ Num(n) ⊃ (n = S(n))) ∧ ∀n(Num(n) ∧

∧ P(n) ⊃ P(S(n)))] ⊃ ∀n(Num(n) ⊃ P(n)),

которую можно упростить до равносильной формулы:

Num5∆*. [P(1) ∧ ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n))) ∧ ∀n(Num(n) ⊃

⊃ (n = S(n)))] ⊃ ∀n(Num(n) ⊃ P(n)).

Принятие этой формулы или даже ее подформулы ∀n(Num(n) ⊃ (n = S(n)))

(вместе с аксиомами Num1ꢀ5), описывающей переход между циклами, сделает

теорию противоречивой, так как формула ∀n(Num(n) ⊃ (n = S(n))) окажется неꢀ

совместимой с Теоремой смежного неравенства, выводимой из аксиом Num1—5.

Формулу ∀n(Num(n) ⊃ (n = S(n))) я буду далее обозначать символом Num7.

В то же время аксиоматика Num1—5 вместе с формулой Num7 (или формуꢀ

лами Num5∆, 5∆*) могла бы выражать идею своего рода «наивного подхода»

в теории минимальной бесконечности, когда не различаются глобальные и внутꢀ

рицикловые переменные (так что противоречивую теорию с указанной аксиомаꢀ

тикой можно было бы называть Наивной теорией минимальной бесконечности).

До некоторой степени эта ситуация напоминала бы противоречивость наивноꢀ

го подхода в теории множеств, в частности парадокс Рассела. В самом деле,

если не различать глобальные и внутрицикловые (локальные) переменные, то

переход от внутрицикловой переменной n↓ к следующей и отличной от нее пеꢀ

ременной n↓* оказался бы переходом от n к n, где переменная n должна была

бы не только совпадать с собой, но и отличаться от себя. Но всякое противореꢀ

чие исчезло бы, как только мы стали бы различать локальные переменные n↓

и n↓* или константы натуральных чисел, на которые, кстати, также можно поꢀ

смотреть как на своего рода предельно локальные переменные. То же с множеꢀ

ством Рассела. Оно одновременно равно себе и в то же время должно отличатьꢀ

ся от себя. Но стоит нам ввести ранговые множества Рассела (которые можно

поставить в биективное отношение с натуральными числами), и противоречие

исчезнет ¹. Таким образом, идея минимальной бесконечности уже содержит

1

См.: Моисеев В. И. Логика всеединства. С. 262—276, 329—335.

≡

58

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

в себе некоторый прототип противоречия, разрешение которого порождает поꢀ

тенциально бесконечную цепь элементов и локальные переменные. В связи

с этим я бы не спешил выбрасывать формулу Num5D* (или Num5D, или Num7)

из теории минимальной бесконечности, но предложил бы использовать ее слеꢀ

дующим образом.

Представим аксиому Num5** как результат сложной подстановки в формулу

Num5∆ по следующему правилу.

Для формулы

[P(1) ∧ ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n))) ∧ ∀n∀n(Num(n) ∧ Num(n) ⊃

⊃ (n = S(n))) ∧ ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n)))] ⊃ ∀n(Num(n) ⊃ P(n))

• в качестве выражения ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n)))F_n[n↓] будем пониꢀ

мать формулу, где все вхождения переменной n заменены переменной n↓,

т. е. формулу ∀n↓(Num(n↓) ∧ P(n↓) ⊃ P(S(n↓)));

• в качестве выражения ∀n∀n(Num(n) ∧ Num(n) ⊃ (n = S(n)))F_{n, n}[n↓*, n↓]

будем

рассматривать

формулу

∀n↓*∀n↓(Num(n↓) ∧ Num(n↓*) ⊃

⊃ (n↓* = S(n↓))).

В итоге аксиому Num5** мы сможем представить как результат следующих

преобразований над формулой Num5∆.

Аксиома Num5** есть выражение

[P(1) ∧ ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃ P(S(n)))F_n[n↓] ∧ ∀n∀n(Num(n) ∧

∧ Num(n) ⊃ (n = S(n))) F_{n, n}[n↓*, n↓] ∧ ∀n(Num(n) ∧ P(n) ⊃

⊃ P(S(n)))F_n[n↓*]] ⊃ ∀n(Num(n) ⊃ P(n)),

т. е. результат описанной выше сложной подстановки в формулу Num5.

Таким образом, можно предположить, что за аксиомой Num5** стоит несовꢀ

местимая с другими аксиомами формула Num5∆, которая, однако, «приручаетꢀ

ся» в Теории минимальной бесконечности проведением описанной сложной

подстановки (аналогично можно утверждать, что за непротиворечивой Теориꢀ

ей минимальной бесконечности стоит согласованная с нею через указанную

сложную подстановку противоречивая Наивная теория минимальной бескоꢀ

нечности).

Так можно было бы выразить участие в определении идеи бесконечности

и некоторой протопротиворечивой структуры, оттенок которой всегда чувствуꢀ

ется в идее бесконечности.

В итоге мы получаем более дифференцированную и приближенную к филоꢀ

софскоꢀкатегориальному представлению Теорию минимальной бесконечности.

Теперь можно сказать, что когда мы мыслим минимальную бесконечность как

ряд натуральных чисел, работает описанная выше аксиоматика, выражающая

пульсации глобальных и локальных переменных и фоновую антиномическую

конструкцию, разрешающую себя конечными начальными отрезками натуꢀ

ральных чисел и цикловой динамикой глобальной и локальных переменных.

Здесь можно выделить следующие подсмыслы общей системы смыслов идеи

минимальной бесконечности («снизу вверх»):

≡

59

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

1) начальные конечные отрезки натуральных чисел, которые всегда можно

надстраивать все дальше и дальше, но в то же время они всегда будут конечны,

например, отрезки:

1

1, 2

1, 2, 3

1, 2, 3, 4;

2) система смыслового обеспечения многоточия «…» или «и так далее» в поꢀ

строении натурального ряда. Здесь, в свою очередь, можно выделить два уровꢀ

ня:

2.1) двуцикловой уровень (два цикла индуктивного предположения и один

переход между ними) — выражен непротиворечивой Теорией минимальной

бесконечности с аксиомами Num1ꢀ4, Num5**, Num6 и проективноꢀмодальныꢀ

ми аксиомами некоторой αꢀОнтологии. Главная специфика этой теории связана

с понятием двух локальных (внутрицикловых) переменных n↓ и n↓* как неꢀ

тождественных αꢀмод глобальной переменной n по натуральным числам;

2.2) одноцикловой уровень (один цикл и один переход) — представлен проꢀ

тиворечивой Наивной теорией минимальной бесконечности с аксиомами

Num1ꢀ5, Num7. Здесь дана только глобальная переменная n, и в переходе межꢀ

ду циклами происходит отождествление n = S(n), что позволяет отождествить

следующий цикл с предыдущим, обходясь одним циклом индуктивного предꢀ

положения.

Как было уже отмечено, Наивная теория связана с Теорией минимальной

бесконечности процедурой описанной выше сложной подстановки, соединяꢀ

ющей теорему Num5D Наивной теории с аксиомой Num5** Теории минимальꢀ

ной бесконечности. В результате противоречие преодолевается дифференциациꢀ

ей ряда вхождений глобальной переменной как разных локальных переменных.

Теперь можно сказать, что когда мы мыслим идею минимальной бесконечꢀ

ности, мы держим в своем сознанииꢀбессознательном все три описанные уровꢀ

ня, координируя их между собою ¹. Мы всегда мыслим некоторый начальный

отрезок натуральных чисел, дополняем его смыслом «и так далее» в виде враꢀ

щений цикла индуктивного предположения как на отдельных натуральных

числах, так и на переменных — локальных и глобальной, на уровне двух и одꢀ

ного циклов. Например, мы начинаем мыслить цикл с глобальной переменной

n, затем прокручиваем его для двух локальных переменных n↓ и n↓*, переходя

от одной из них к другой между циклами, а затем вновь движемся на уровень

1

В связи с чем, кстати говоря, должна существовать четвертая инстанция сознания, способная

(раз)отождествлять себя с описанными уровнями и их суперпозициями, меняя формы и стеꢀ

пени этого (раз)отождествления. Это похоже на идею текущего эго в квантовоꢀэкранной теоꢀ

рии сознания (см.: Моисеев В. И. Логика Добра. С. 351—367). Такая инстанция должна быть,

поꢀвидимому, связана с переменной более высокого порядка (транспеременной), которая споꢀ

собна будет принимать в качестве своих частных значений разные суперпозиции описанных

переменных (локальных и глобальной) и констант.

≡

60

≡

Часть 2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

глобальной переменной, отождествляя через Num7 следующую и предыдущую

локальные переменные и захлопывая оба цикла локальных переменных вновь

в один цикл с глобальной переменной. Замечу, что в любом случае мы остаемся

в рамках финитных структур, но вот такое многоуровневое их взаимодействие,

такие смысловые скольжения от одних структур к другим, включающие в себя

конструкции переменных и способность постоянного пополнения конечных

отрезков элементов, и образует для нас, по!видимому, идею минимальной бес!

конечности.

В конце я хотел бы заметить, что описанный динамический и текуче!много!

уровневый смысл идеи бесконечности возможен во многом благодаря природе

глобальной переменной n ¹, которая может как сужаться до своих α!мод — ло!

кальных переменных и констант, так и возникать!восполняться из них. Пере!

менная выступает в этом случае видом единого, скользящего по своим аспектам!

ограничениям и вновь поднимающегося к себе. Средствами α!Онтологии такая

природа переменной выражается как иерархически не минимальный a!модус,

способный сужаться до множества своих нетождественных мод в разного рода

ограничивающих α!моделях.

§ 3. Логика развития рационального числа

Обратимся вначале к изложению основных фактов развития идеи положитель!

ного рационального числа в древнеегипетской математике, как они представле!

ны в книге Б. Л. ван дер Вардена ².

Древние египтяне использовали непозиционную систему счисления, приме!

няя различные символы для чисел, например | — один, ∩ — десять, и т. д., груп!

пируя эти символы вместе для изображения какого!либо числа. Например, ||| —

это три, |||| ∩ — четырнадцать, || ∩ ∩ — двадцать два (читать надо справа нале!

во), и т. д. В этом случае сложение чисел есть просто группировка всех символов

из двух суммируемых чисел и замена соответствующего числа символов более

низкого порядка на символ более высокого порядка, например сложить |||||

(пять) и ||||||| (семь) — это значит получить |||||||||||| (двенадцать), но так как

|||||||||| (десять) — это ∩, то |||||||||||| заменяется на || ∩. Ряд натуральных чисел не

был бесконечным, как у нас. Существовало наибольшее число М. Например, во

времена Древнего царства (3000—2000 до н. э.) это было число 100 000. В связи

со всеми этими особенностями я буду говорить о феномене египетского числа

(«е!числа») как особой стадии развития рациональных чисел. Далее я буду ис!

пользовать привычные для нас обозначения натуральных чисел, предполагая

эти обозначения как сокращения для египетской записи натурального числа.

1

Или благодаря природе отмеченной выше транспеременной (см. предыдущее примечание).

Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Гре!

2

ции / Пер. с голланд. И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959.

≡

61

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Совершенно своеобразным является умножение двух натуральных чисел

у египтян. Например, чтобы умножить 11 на 12, т. е. найти 11 · 12, древние

египтяне составляли таблицу для числа 11 такого вида — см. табл.9.

Таблица 9

1

11

2

\4

\8

22

44

88

Левый столбец (у египтян — правый) этой таблицы образует последовательꢀ

ные удвоения, начиная с единицы. Правый столбец (у египтян — левый) — это

последовательные удвоения, начиная с умножаемого числа, т. е. с 11. Далее

в левом столбце отмечаются те числа, которые в сумме дают множитель, т. е. 12.

Это 4 и 8 (они выделяются черточкой). Теперь, чтобы найти результат умноꢀ

жения, складывают те числа в правом столбце, которые стоят напротив выдеꢀ

ленных чисел левого столбца, — это 44 и 88. Так получают 132. Таким обраꢀ

зом, умножение сводится к удвоению и сложению. Но удвоение не обязательно.

Для достижения более быстрого счета могут применять удесятерение или упяꢀ

терение, например при умножении 16 · 16 (№ 6 Кахунского папируса ¹) (см.

табл. 10).

Таблица 10

\1

\10

\5

16

160

80

Б. Л. ван дер Варден пишет: «Этот египетский способ умножения является

основой всей техники счета. Он должен быть очень древним, однако в этой

форме он удержался до эллинистической эпохи и в греческих школах называлꢀ

ся “египетским счетом”» ². Я буду называть описанный способ умножения «егиꢀ

петским умножением» (сокращенно: «еꢀумножение»). Общая форма еꢀумножеꢀ

ния может быть представлена в следующем виде. Если требуется египетски

умножить число а на число b (обозначим это в виде «а ·_eb»), то для числа а соꢀ

ставляется таблица (см. табл. 11).

Здесь через с_i(а), i = 1, 2, …, N, обозначено еꢀумножение с_i·_eа, нахождение

результата которого легче, чем а ·_eb. С этой точки зрения умножение с_i·_eа есть

более элементарная операция, чем а ·_eb, и может быть обозначена как своего

1

Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. С. 23.

Там же. С. 24.

2

≡

62

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Таблица 11

1

а

с₁

с₂

с₃

с₁(а)

с₂(а)

с₃(а)

.

с_N

с_N(а)

рода оператор с_i(а), непосредственно (в рамках таблицы для а ·_eb) дающий знаꢀ

чение с_i·_eа на основе значения а. Чаще всего в качестве такого оператора выꢀ

ступает удвоение, но при накоплении опыта счета в качестве подобных операꢀ

торов могли выступать и другие случаи еꢀумножения (например, удесятерение,

упятерение, и т. д.). Оператор с_i(а) — это свернутая в единственный акт перехоꢀ

да от а к с_i·_eа операция. В случае удвоения это операция простого удвоения

символов числа (чисто знаковая операция), в более общем случае оператором

становится какойꢀлибо часто используемый случай еꢀумножения, в котором

уже опускаются все промежуточные стадии вычисления и осуществляется неꢀ

посредственный переход от исходных данных к результату.

Левый столбец таблицы составляется таким образом, чтобы, по возможноꢀ

сти, при минимальном N образовать такой набор операторов с_i, сумма которых

даст множитель b. Такие операторы выделяются черточкой, и окончательный

результат еꢀумножения получается как сумма тех чисел из правого столбца, коꢀ

торые стоят напротив выделенных операторов в левом столбце. Таким образом,

умножение а ·_eb раскладывается на сумму операторных еꢀумножений с_i(а) (для

выделенных операторов с_i), что упрощает процедуру только при том условии,

если операторные умножения с_i(а) проще еꢀумножения а ·_eb.

На тех же принципах строилось и деление у древних египтян. Чтобы раздеꢀ

лить, например, 1120 на 80 (№ 69 папируса Ринда ¹), египтяне строили таблицу

(см. табл. 12).

Таблица 12

1

\10

2

80

800

160

320

\4

Но, в отличие от еꢀумножения, исходным теперь был правый столбец (у египꢀ

тян — левый): в нем искали такие числа, которые в сумме дают делимое, т. е.

1120 (это числа 800 и 320), и напротив этих чисел отмечали соответствующие

1

Там же.

≡

63

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

им операторы из левого столбца (числа 10 и 4). Сумма этих выделенных операꢀ

торов и давала частное (в нашем примере 14), — в том случае, конечно, если это

было целочисленное деление двух натуральных чисел. Такого рода деление

можно называть «египетским (целочисленным) делением» (сокращенно: «еꢀдеꢀ

ление») и обозначать а :_еb.

Итак, чтобы найти а :_еb, строится специальная таблица (см. табл. 13).

Таблица 13

1

b

с₁

с₂

с₃

с₁(b)

с₂(b)

с₃(b)

.

с_N

с_N(b)

В таблице выбираются такие числа с_i(b), которые в сумме дают а. Оператоꢀ

ры с_iнапротив таких чисел выделяются, и частное получается как сумма выдеꢀ

ленных операторов.

Если деление не было целочисленным, то древние египтяне прибегали к дроꢀ

бям. У них был ограниченный запас дробей. Это главным образом основные

1

дроби, т. е. дроби с числителем единица: /₂, /₄, и т. д., вплоть до некоторого

наименьшего числа m (возможно, что m = 1/М, но указаний на это у Б. Л. ван

дер Вардена я не нашел), и были еще отдельно выделены две дроби ²/₃и ³/₄(все

эти дроби будем называть базисны_≡ми дробями). Следуя Нейгебауэру, будем пиꢀ

=

2

сать n¯ вместо ¹/_n, 3 — вместо /₃и 4 — вместо ³/₄. Практика вычислений привоꢀ

дила в этом случае к суммам дробей, которые не всегда могли быть представлеꢀ

ны одной базисной дробью или натуральным числом с одной базисной дробью.

≡

=

Поэтому суммы дробей вида n₁¯ + n₂¯ + … +n_k¯ или n₁¯ + n₂¯ + … +n_k¯ + 3 + 4 (или натуꢀ

ральных чисел с дробями) были в древнеегипетской арифметике относительно

независимыми объектами. Такие суммы пытались свести различными преобраꢀ

зованиями к суммам из небольшого числа базисных дробей (обычно двух или

трех), для чего использовались разного рода таблицы ¹. Использование дробей

в качестве операторов в таблицах для еꢀделения позволило расширить возможꢀ

ности деления. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример № 24 из папируса Ринда ²— случай деления 19 на 8 (см. табл. 14).

В правом столбце в сумме дают 19 числа 16, 2 и 1. Им соответствуют числа 2,

¯

и в левом столбце. Сумма этих чисел, т. е. 2 + 4 + 8 и дает частное от еꢀделения

1

3

¯

19 на 8. Сумма дробей 4 + 8, т. е. /₄+ /₈, — это /₈. У древних египтян не было

такой дроби, как базисная дробь, поэтому она могла быть выражена только как

¯

сумма базисных дробей, например как 4 + 8.

1

Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. С. 26—33.

Там же. С. 29.

2

≡

64

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Таблица 14

1

8

\2

²¯

\4¯

\8¯

16

4

2

1

В этом случае мы видим, что в качестве операторов (элементов левого столбꢀ

ца) начинают выступать базисные дроби.

В дальнейшем процедура еꢀделения пополняется еще одной техникой, котоꢀ

рая наконец позволяет теперь уже окончательно найти любое частное от делеꢀ

ния любых еꢀчисел. Это техника вычислений с «красными вспомогательными

числами» ¹. Рассмотрим ее вначале на примере.

Рассмотрим пример еꢀделения 2 на 31 из папируса Ринда ²(см. табл. 15).

Таблица 15

1

31

\20 1 + 2 + 20

\124

\155

4¯

5¯

Б. Л. ван дер Варден комментирует это еꢀделение таким образом, что вначаꢀ

ле получают операторное еꢀумножение 10(31) = 3 + 10 (оно опущено в таблиꢀ

це), отсюда затем получают операторное еꢀумножение 20(31) как 2(10(31)) =

= 2(3 + 10) = 1 + 2 + 20. Чтобы теперь окончательно еꢀразделить 2 на 31, нужно

найти такой оператор с, чтобы с(31) давал дополнение 1 + 2 + 20 до 2. Таким

именно оператором является еꢀчисло 124 + 155, так как 2–(1 + 2 + 20) = 4 + 5

и 124(31) = 4, 155(31) = 5. Если найдены 4 и 5 (т. е. дополнение 1 + 2 + 20 до 2),

то 124 и 155 находятся без труда — на основе еꢀумножений 4 на 31 и 5 на 31 соꢀ

ответственно. Итак, главное — найти дополнение 1 + 2 + 20 до 2 (или, что то же

самое, найти дополнение 2 + 20 до 1), т. е. 4 + 5, но как именно египетский счетꢀ

чик нашел эти числа 4 и 5?

Процедура еꢀделения начинает применять технику дополнения некоторой

суммы базисных дробей, меньших единицы, до единицы. Б. Л. ван дер Варден

пишет о такого рода задаче: «Это — задача, которая постоянно встречается при

египетских делениях. В вышеприведенном делении 2 : 31 нужно было дополꢀ

нить сумму 2 + 20 до 1; решение 4 + 5 отнюдь не очевидно. Поэтому не следует

удивляться, что подобного рода дополнения специально разбираются в папиꢀ

1

Там же. С. 33—37.

См.: Там же. С. 33.

2

≡

65

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

русе Ринда» ¹. Для решения задачи дополнения используется следующее правиꢀ

ло: «Когда труднообозримую сумму дробей нужно сравнить с другой суммой или

дополнить ее до 1, то наименьшую дробь берут в качестве новой единицы и выраꢀ

жают через нее все остальные дроби. Или еще проще и практичнее: Переход от

заданных величин к вспомогательным числам совершается при помощи умножеꢀ

ния на наибольший знаменатель , а обратный процесс — при помощи деления на

этот знаменатель» ². Например, чтобы найти дополнение в нашем примере

2 + 20 до 1, нужно вначале числа 2, 20 и 1 умножить на 20 — получим 10, 1 и 20

(вот эти числа и называются «красными вспомогательными», так как они выꢀ

делялись красным цветом). Теперь дополнение 2 + 20 до 1 заменяется дополнеꢀ

нием 10 + 1 до 20 — это 9. Наконец, 9 делится на 20 — получаем 9/20, т. е.

¹/ + ¹/₅. Это еꢀчисло 4 + 5. «Вычисления со вспомогательными числами соꢀ

4

ставляют вершину и последний шаг египетской техники счета. При помощи

этого метода вычисления можно произвести любое деление, независимо от его

сложности» ³.

Похожий принцип применяется и в так называемом вычислении «аха». Вот

что о нем пишет Б. Л. ван дер Варден: «Египетское слово “h”, которое ранее неꢀ

правильно выговаривалось как “хау”, а в настоящее время немного менее неꢀ

правильно “аха”, обозначает “количество, множество”.

Вычисление “аха” приблизительно соответствует нашим уравнениям первой

степени с одним неизвестным. Простой пример дает задача № 26 Ринда (папиꢀ

руса Ринда. — В. М.):

“Количество и его четвертая часть дают вместе 15”. Египетское решение наꢀ

чинается так: “Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5”.

Затем производится деление 15 : 5 = 3 и в заключение умножение 4 · 3 = 12.

Требуемое “количество” будет, таким образом, 12, его четверть 3, сумма 15.

Примененный метод является, очевидно, методом ложного положения; наꢀ

чинают с того, что в качестве “количества” берут некоторое произвольное чисꢀ

ло, в нашем случае 4, для которого легко вычислить четвертую часть. Четыре

и четвертая часть 4 дают вместе 5, однако, результат должен равняться 15, слеꢀ

довательно, взятое “количество” следует еще умножить на 15 : 3 = 5» ⁴.

Таковы основные известные нам этапы развития древнеегипетской арифмеꢀ

тики. Б. Л. ван дер Варден суммирует это развитие следующим образом: «Внаꢀ

чале египтяне, как и все народы, располагали известным небольшим запасом

целых чисел, вполне удовлетворявшим их в нуждах обыденной жизни, и также

1

2

1

3

1

ограниченным количеством “натуральных” дробей: /₂, /₃, /₃, /₄, /₄, /₆, /₈.

Однако, эта первобытная стадия счета принадлежит предыстории; история

счетной техники начинается с расширением этого первоначального запаса чиꢀ

1

Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. С. 34.

Там же. С. 35.

Там же.

Там же. С. 37.

2

3

4

≡

66

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

сел в обоих направлениях (т. е. и для натуральных чисел и для дробей. — В. М.)

<…> Египетский счетчик мыслит, по существу, аддитивно, при помощи сложения.

Дроби он пишет в виде сумм основных дробей (вернее, базисных дробей. —

В. М.). Умножение представляет для него род сложения <…> Из умножения

возникло само собой деление, которое всегда является задачей, обратной умноꢀ

жению. Но деление требует, однако, вычислений с дробями; таким образом,

деление повело к дальнейшему развитию вычислений, появились действия

с дробями… Теперь стали возможны все более и более сложные вычисления,

для которых потребовался последующий контроль и понадобился способ сравꢀ

нения сумм основных дробей; и, в частности, нужно было научиться дополнять

эти суммы до единицы. Эта потребность заставила ввести счет со вспомогательꢀ

ными числами. При их помощи можно было выполнить любое деление, решить

каждую задачу “аха”, как бы хитро ни была она поставлена» ¹.

Моя цель теперь состоит в том, чтобы пойти дальше на пути осмысления осꢀ

новных этапов развития еꢀчисла. Я попытаюсь не просто обобщить ряд этапов

такого развития, как это делает Б. Л. ван дер Варден и другие историки матемаꢀ

тики, но продемонстрировать идеи математики истории математики на приꢀ

мере развития еꢀчисла. Подобно тому как расширение математики на логику

математики привело к созданию метаматематики как математики логики маꢀ

тематики, аналогичное расширение математики на собственное развитие должꢀ

но повести к созданию своего рода генетической математики. Развитие структур

есть также структура, и история процесса выявляет подобного рода структуры

развития. Принятый на сегодня в истории математики и других точных науках

финалистический метод во многом предполагает лишение самостоятельности

промежуточных этапов развития той или иной структуры, рассмотрение их как

только частей существующей сегодня развитой («финальной») структуры.

В дополнение к этому методу, несомненно имеющему свои положительные

стороны, может быть развит метод органический, рассматривающий промежуꢀ

точные этапы эволюции структуры как относительно самодостаточные и замкꢀ

нутые, обладающие своей внутренней логикой. Такого рода программа генетиꢀ

ческой математики должна быть подкреплена примерами соответствующих

структур, которые также можно называть генетическими. Структура «ментальꢀ

ное многообразие» является для меня одним из наиболее важных примеров поꢀ

добного рода генетических математических структур. Ниже я предложу пример

трактовки истории развития египетского числа в рамках одновременно и более

органической и более строгой методологии, активно использующей конструкꢀ

ции ментального многообразия. Вначале будут описаны отдельные составляюꢀ

щие некоторого специального случая ментального многообразия, в рамках коꢀ

торого будет представлена эволюция еꢀчисла, затем будет дано окончательное

определение этой генетической структуры и сделан ряд общих замечаний.

1

Там же. С. 40—41.

≡

67

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Своего рода ключом к древнеегипетской арифметике является, с моей точки

зрения, «совершенно своеобразное», как пишет Б. Л. ван дер Варден, умножеꢀ

ние древних египтян. Как было показано выше, при еꢀумножении а ·_eb числа

а на число b строится таблица для числа а (умножаемого), в которой самому

числу а (в правом столбце) сопоставляется единица (в левом столбце), а произꢀ

ведениям а на числа (в правом столбце) — произведения этих чисел на единицу,

т. е. сами эти числа (в левом столбце). Наиболее существенным здесь является

представление числа а как единицы. В самом деле, любое число может быть

представлено как единица на своем собственном уровне, и именно этот акт поꢀ

ложен в основание еꢀумножения. Но тогда существует не одна, но множество

единиц, и их надо различать. Конечно, в только числовом отношении есть неꢀ

которая абсолютная единица, а остальные, неединичные, числа образуют в этом

случае относительные единицы. Пусть а — некоторое натуральное число, не

равное единице. Обозначим через форму 1_ачисло а как единицу своего собꢀ

ственного уровня. То же может быть отнесено и к единице, тогда 1 можно предꢀ

ставить как 1₁. Если 1_а— единица на своем уровне, то сам этот уровень может

быть образован как суммы аꢀединиц: 1_а, 2_а, 3_а, и т. д. Итак, мое основное утвержꢀ

дение состоит в том, что еꢀчисло бинарно, оно включает в себя основание и стеꢀ

пень. Общий вид такого числа может быть представлен как а_b, где а — степень,

b — основание. а_b— это взятые а раз bꢀединицы. Такое число можно также наꢀ

зывать бичислом. Кратко моя позиция теперь может быть выражена в следуюꢀ

щем утверждении: еꢀчисло есть бичисло. Из этого утверждения можно вывести

все особенности древнеегипетской арифметики и логику ее развития. Такая

центральная роль этого утверждения требует специального названия, и я буду

именовать утверждение «еꢀчисло есть бичисло» бичисловой гипотезой.

Теперь еꢀумножение приобретает следующий вид. Пусть надо еꢀумножить

два натуральных числа а и b, т. е. найти а ·_eb. Эти числа даны как 1ꢀчисла, т. е.

как а₁и b₁. Для нахождения результата умножения строится таблица из двух

столбцов. Эти столбцы можно теперь проинтерпретировать таким образом, что

правый столбец отводится для 1ꢀчисел, а левый столбец — для аꢀчисел. Вновь

рассмотрим с этой точки конкретный пример еꢀумножения 11 ·_e12 (см. табл. 16).

Таблица 16

1

11

2

\4

\8

22

44

88

Если в правом столбце (в первой строке) 11 дано как 11₁, то в левом столбце

11 дано как единица на своем собственном уровне, т. е. как 1₁₁. Теперь образоваꢀ

ние чисел в левом столбце выглядит как образование 11ꢀчисел, т. е. чисел по осꢀ

нованию 11. Так образуются 2 как 2₁₁, 4 — как 4₁₁, 8 — как 8₁₁. Соответствующие

≡

68

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

числа в правом столбце выступают в этом случае как «переводы» этих 11ꢀчисел

в 1ꢀчисла: 2₁₁— это 22₁, 4₁₁— это 44₁, 8₁₁— это 88₁. В общем случае перевод чисꢀ

ла а_bна 1ꢀуровень — это и есть еꢀумножение а ·_eb, т. е.

а_b=_e(а ·_eb)₁.

Здесь «=_e» — некоторое отношение эквивалентности. Именно, a_b=_ec_dтогда

и только тогда, когда (а ·_eb)₁≡_e(c ·_ed)₁, где «≡_e» — равенство по степеням двух

бичисел с одним основанием.

После образования 11ꢀчисел и их переводов в 1ꢀчисла отбираются такие

11ꢀчисла, которые в 11ꢀсложении (т. е. в сложении на 11ꢀуровне) дают ту же веꢀ

личину (по степени), что и степень множителя. Здесь мы имеем дело еще с одꢀ

ной эквивалентностью “≈_e”, где a_b≈_ec_dтогда и только тогда, когда а₁≡_eс₁. В наꢀ

шем случае имеем 4₁₁

+₁₁8₁₁≈_e12₁, где +₁₁— это 11ꢀсложение. В общем случае

для аꢀсложения имеем: b_a+_ac_a≡_e(b + c)_a, т. е. аꢀсложение определено только

для бичисел с основанием а. Через «=» я буду обозначать обычное равенство на

рациональных числах.

Переход от бичисла а₁к бичислу 1_а— это некоторое специальное действие,

которое можно выделить в качестве оператора инверсии I. В общем случае имеꢀ

ем: I(a_b) ≡_eb_a. Кроме того, в силу применения при еꢀумножении операции переꢀ

хода от а_bк переводу этого числа на 1ꢀуровень — (а ·_eb)₁, введем оператор b,

1ꢀпредставления Р_{b, 1}, где Р_{b, 1}(а_b) ≡_e(а ·_eb)₁.

Итак, еꢀумножение а ·_eb может быть теперь представлено в следующем виде:

а₁·_eb₁≡_eР_{a, 1}(с¹) +₁Р_{a, 1}(с²) +₁… +₁Р_{a, 1}(сⁿ), где (с¹+с²+ … + сⁿ)_а≈_eb₁.

а

Здесь сⁱ_а, i = 1, 2, …, n, — это аꢀчисла из левого столбца таблицы еꢀумножеꢀ

ния, степень суммы которых равна степени суммы множителя b₁. Так как

Р_{a, 1}(сⁱ_а) ≡_e(сⁱ·_eа)₁, то умножение сводится к сумме умножений, и вся эта процеꢀ

дура имеет смысл только в том случае, когда операция Р_{a, 1}(сⁱ_а) проще операции

а₁·_eb₁. Именно операцию Р_{a, 1}(сⁱ_а) я записывал выше в виде операции операторꢀ

ного еꢀумножения с_i(а), подчеркивая ее относительную элементарность в рамꢀ

ках умножения а₁·_eb₁.

Аналогичным образом можно представить действия при целочисленном

еꢀделении а :_еb. В этом случае правый столбец таблицы отводится для 1ꢀчисел,

левый — для bꢀчисел. Вернемся к рассмотренному выше примеру целочисленꢀ

ного еꢀделения 1120 на 80 (см. табл. 17).

Таблица 17

1

\10

2

80

800

160

320

\4

≡

69

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

В первой строке этой таблицы справа стоит бичисло 80₁, слева — 1₈₀. Далее

строится набор 80ꢀчисел в левом столбце: 10₈₀, 2₈₀, 4₈₀. В правом столбце им соꢀ

поставляются 1ꢀпереводы этих чисел: 800₁, 160₁, 320₁. Затем в правом столбце

отбираются такие 1ꢀчисла, степень 1ꢀсуммы которых равна степени делимого

1120₁. Это 800₁и 320₁. Для них берутся 80ꢀпредставления 10₈₀и 4₈₀соответꢀ

ственно в левом столбце таблицы. Эти представления берутся как 1ꢀчисла: 10₁

и 4₁, и 1ꢀскладываются. Так получается частное 14₁. Здесь мы встречаемся с опеꢀ

ратором, сопоставляющим 1ꢀчислу его перевод как 80ꢀчисло. Это оператор,

обратный оператору Р_{80, 1}, его можно обозначить как оператор Р_{1, 80}(оператор 1,

80ꢀпредставления). Например, Р_{80, 1}(10₈₀) ≡_e800₁, Р_{1, 80}(800₁) ≡_e10₈₀. Таким обраꢀ

зом, Р_{1, 80}(Р_{80, 1}(10₈₀)) ≡_e10₈₀. Также мы встречаемся здесь с оператором вида

R(10₈₀) ≡_e10₁, который можно назвать релятором. Итак, в общем случае введем

операторы: 1, аꢀпредставления Р_{1, а}, где Р_{1, а}(Р_{а, 1}(b_a)) ≡_eb_a; релятор R, где

R(a_b) ≡_eа₁.

Теперь общий случай целочисленного еꢀделения а :_еb может быть представꢀ

лен в следующем виде:

а :_еb ≡_eR(с¹_b) +₁R(с²_b) +₁… +₁R(сⁿ_b),

где Р_{a, 1}(с¹_а) +₁Р_{a, 1}(с²_а) +₁… +₁Р_{a, 1}(сⁿ_а) ≈_ea₁, сⁱ_а≡_eР_{1, а}(Р_{а, 1}(сⁱ_а)), i = 1, 2, …, n.

Прежде чем рассмотреть приемы, связанные с использованием красных

вспомогательных чисел, рассмотрим проблему возникновения дробей. Основꢀ

ная дробь 1/n — это nꢀя часть единицы. Здесь мы встречаемся с процедурой,

обратной образованию единицы из множества единиц. При образовании дроби

необходимо единицу представить как множество более мелких единиц. Однако

эти два акта тесно связаны между собой. Если а₁представлено как 1_а, то 1₁выꢀ

ражается на аꢀуровне как аꢀдробь (1/а)_а, т. е. Р_{1, а}(1₁) ≡_e(1/а)_а. Таким образом,

возникновение дробей также связано с бичисловой структурой. Можно предпоꢀ

ложить, что дроби вначале возникают на аꢀуровне, где а>1, и лишь затем они

переносятся на 1ꢀуровень (что можно представить как результат действия опеꢀ

ратора реляции R((1/а)_а) ≡_e(1/а)₁). Но как только дробь переносится на 1ꢀуроꢀ

вень, по отношению к ней может быть применен оператор инверсии, т. е. она

может быть также представлена как единица своего уровня.

Появление дробей в качестве операторов при еꢀделении — при том условии,

что числа в правом столбце оставались целыми, — как раз указывает на случай

возникновения аꢀдробей при еще возможном отсутствии 1ꢀдробей. Таков расꢀ

смотренный выше случай деления 19 на 8 (см. табл. 18).

Таблица 18

1

8

\2

²¯

\4¯

\8¯

16

4

2

1

≡

70

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

В левом столбце здесь уже стоят дроби, а в правом их нет. Числа в левом

столбце — это 8ꢀчисла в данном примере. Таким образом, 2, 4 и 8 в левом столбꢀ

це — это 2₈, 4₈и 8₈соответственно. Это 8ꢀдроби, но их 8, 1ꢀпредставления

1ꢀдробями не являются, так как Р_{8, 1}(2₈) ≡_e4₁, Р_{8, 1}(4₈) ≡_e2₁, Р_{8, 1}(8₈) ≡_e1₁. Итак,

можно предположить, что следующий этап развития еꢀделения был связан

с образованием аꢀдробей, а, 1ꢀпредставления которых еще не были 1ꢀдробями.

Образование аꢀдробей рано или поздно должно привести к 1ꢀдробям — как

результат уподобления 1ꢀуровня аꢀуровню (оператор реляции). С появлением

1ꢀдробей возможности еꢀделения расширяются, так как теперь дроби можно

писать и в правом столбце.

Дальнейшие возможности еꢀделения расширяются в связи с введением

дробных единиц (1/а)₁и их уровней.

Рассмотрим с точки зрения бичисловой структуры еꢀчисла технику работы

с красными вспомогательными числами. В примере еꢀделения 2 на 31 из папиꢀ

руса Ринда, рассмотренного выше (см. табл. 19),

Таблица 19

1

31

\20 1 + 2 + 20

\124

\155

4¯

5¯

красные вспомогательные числа использовались для нахождения дополнения

2 + 20 до 1. Правый столбец содержит 1ꢀчисла, и 2 + 20 — это 2₁+₁20₁. Эту веꢀ

личину нужно дополнить до 1₁. Вспомним цитату из книги Б. Л. ван дер Вардеꢀ

на, в которой автор объясняет принцип работы с красными вспомогательныꢀ

ми числами: «Когда труднообозримую сумму дробей нужно сравнить с другой

суммой или дополнить ее до 1, то наименьшую дробь берут в качестве новой едиꢀ

ницы и выражают через нее все остальные дроби» ¹. Это совершенно согласуется

с нашей бичисловой гипотезой, согласно которой любое число а₁можно взять

как новую единицу 1_а. Итак, числа 2₁, 20₁и 1₁берут в 1, 20ꢀпредставлении, т. е.

в представлении на уровне с 1/20 как новой единицей (1/20ꢀуровне). Здесь поꢀ

лучим: Р_{1, 1/20}(2₁) ≡_e10_1/20, Р_{1, 1/20}(20₁) ≡_e1_1/20и Р_{1, 1/20}(1₁) = 20_1/20. После этого наꢀ

ходят дополнение 10_1/20

+_1/201_1/20до 20_1/20— это 9_1/20. Затем возвращаются к 20,

1ꢀпредставлению найденного дополнения: Р_{1/20, 1}(9_1/20) ≡_e4₁+₁5₁. Если операцию

дополнения а_сдо b_собозначить через функцию сꢀразности а_с–_сb_с, определенꢀ

ную только для случая а > b и равную такому d_c, что b_c+_cd_c≡_ea_c, то разобранꢀ

ный нами случай дополнения 1₁–₁(2₁+₁20₁) может быть представлен в следуꢀ

ющем виде:

1₁–₁(2₁+₁20₁) ≡_eР_{1/20, 1}[Р_{1, 1/20}(1₁) –_1/20(Р_{1, 1/20}(2₁) +_1/20Р_{1, 1/20}(20₁))].

1

Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. С. 35.

≡

71

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Такие операции предполагают образования дробных единиц (1/а)₁и их

уровней. В то же время у древних египтян практически отсутствуют отдельные

обозначения для (1/а), 1ꢀпредставлений неединичных элементов этих уровней.

В самом деле, такие обозначения привели бы к необходимости введения как отꢀ

дельных чисел неосновных дробей (Р_{(1/а), 1}(b_1/а) ≡_e(b/а)₁, где (b/а)₁— это неꢀ

основная дробь при b > 1), что произошло только для двух неосновных дроꢀ

бей — ²/₃и ³/₄. В связи с этим определение дробных уровней в древнеегипетской

арифметике таково, что неединичные элементы дробных уровней еще не получаꢀ

ют своего отдельного представления на 1ꢀуровне, хотя сами дробные уровни

уже существуют, с ними проводятся операции и в их рамках неосновные дроби

выражаются как индивидуальные элементы (b_1/а).

Аналогичные преобразования между уровнями предполагаются и в исчисꢀ

лении «аха».

Если рассмотренную выше в качестве примера вычисления «аха» задачу

«количество и его четвертая часть дают вместе 15» представить в виде линейꢀ

ного уравнения с одним неизвестным х + ¹/₄х = 15, то, как мы видели, решение

этого уравнения осуществляется не путем выделения х, как это делаем сейчас

мы, а через метод, который Б. Л. ван дер Варден называет «методом ложного

положения». Вначале эта задача решается для некоторого конкретного числа,

для которого легко вычислить четвертую часть. Это, например, 4. Однако, чеꢀ

тыре с самого начала рассматривается здесь не как окончательное «аха» («коꢀ

личество»), но как число, лишь удобно представляющее искомое «аха». Таким

образом, можно предположить, что это такое число четыре, за которым на

1ꢀуровне стоит истинное «аха», в общем случае совсем не обязательно равное

четырем. Таковым в общем случае может быть только некоторое условное чеꢀ

тыре, т. е. четыре на некотором аꢀуровне. Итак, в «методе ложного допущения»

берется в нашем примере не просто 4, но 4_а, т. е. 4 на некотором аꢀуровне. Тоꢀ

гда левая половина уравнения может быть представлена как выражение

4_а+_а[(1/4)_а·_а4_а]. Здесь используется уже не только аꢀсложение, но и аꢀумножеꢀ

ние: b_а·_ас_а≡_e(b · с)_а. С правой стороны уравнения стоит 1ꢀчисло 15₁. Итак, в цеꢀ

лом получаем: 5_а=_e15₁, причем здесь должно стоять именно “=_e” как отношение

эквивалентности. Далее получаем а, 1ꢀпредставление 5_а, т. е. (5 ·_еа)₁≡_e15₁, отꢀ

куда а₁≡_e15₁:_е5₁(для чисел с одним основанием эквивалентность «=_e» совпадаꢀ

ет по смыслу с эквивалентностью «≡_e»). После того, как а найдено, можно найти

и 4_акак искомое «аха», т. е. получить а, 1ꢀпредставление аꢀчисла 4_а. В целом поꢀ

лучим следующее выражение рассмотренной задачи на «аха»:

Р_{а, 1}(4_а) =_e4₁·_е(15₁:_еR(4_а+_а[(1/4)_а·_а4_а])).

Центральную роль здесь играет равенство

5_а=_e15₁,

откуда делается вывод, что а₁=_e15₁:_е5₁.

≡

72

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Заметим, что, в отличие от переменной х в линейном уравнении х + ¹/₄х = 15,

число а в выражении 4_а+_а[(¹/₄)_а·_а4_а] совершенно конкретно, хотя, как и переꢀ

менная, играет промежуточную роль при нахождении «аха». Такого рода

объект можно рассмотреть как своего рода предпеременную — один из промеꢀ

жуточных этапов развития понятия «переменной».

Итак, вычисление «аха» также вполне получает свое объяснение в рамках

бичисловой гипотезы. В вычислении «аха» умножение уже близко к приобреꢀ

тению групповой структуры. Выражение a_b=_ec_d, играющее центральную роль

в задачах на «аха», практически можно считать разрешимым относительно люꢀ

бого из входящих в него элементов. Однако окончательное операциональное

оформление группы положительных рациональных чисел по умножению у древꢀ

них египтян, поꢀвидимому, не произошло. Это проявилось как в отсутствии

идеи бесконечности, что можно было выразить только через позиционную сисꢀ

тему счисления, так и в незавершенном (1/а), 1ꢀпредставлении (1/а)ꢀнатуральꢀ

ных неединичных чисел (т. е. чисел b_1/а, где b — натуральное число, большее

единицы), что приводило к ограничению множества 1ꢀдробей практически

только основными дробями. Б. Л. ван дер Варден пишет: «Вычисления “аха” соꢀ

ставляют высшую ступень египетской арифметики. Дальше уравнений первой

степени и простых квадратных уравнений с одним неизвестным египтяне не

имели возможности пойти: для этого их техника счета была слишком первоꢀ

бытна и кропотлива» ¹.

Недостаточное развитие древнеегипетской арифметики оказывается в то же

время особенно ценным для генетической математики, поскольку именно на

этой стадии развития арифметики получают свое максимальное оформление

промежуточные структуры развития числа, которые позднее были преодолены

и сделаны «невидимыми» в рамках более развитых числовых структур. Более

того, эти промежуточные структуры оказываются зачастую утерянными с переꢀ

ходом к более высоким уровням развития, и требуется специальная реконстꢀ

рукция для восстановления этих структур. Ниже я непосредственно перехожу

к примеру подобной реконструкции по отношению к описанным ранее основꢀ

ным этапам развития древнеегипетского числа.

Основные особенности концепции еꢀчисла могут быть вполне поняты, с моей

точки зрения, только в рамках бичисловой гипотезы. У египтян еще нет рациоꢀ

нального положительного числа в нашем понимании. Для них всякое число —

это всегда в первую очередь некоторое бичисло a_b, и лишь постепенно на этом

фоне пробивает себе дорогу идея некоторой числовой инвариантности, способꢀ

ной охватывать в единое целое те бичисловые формы, у которых одно 1ꢀпредꢀ

ставление. Эту инвариантность я выражал эквивалентностью «=_e». Итак, у кажꢀ

дого бичисла a_bможно различать нечто особенное, связанное с представлением

этого числа именно на bꢀуровне, и нечто универсальное — то «истинное» колиꢀ

чество (а · b)₁, которое вполне выявляется в 1ꢀпредставлении числа. Связывая

1

Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. С. 39.

≡

73

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

момент универсальности с понятием «модус», а момент индивидуальности

с понятием «мода», можно выразиться и таким образом, что форма a_bпредставꢀ

ляет собой моду А↓m некоторого модуса А, связанного с величиной (а · b)₁

и образующего указанную моду в рамках некоторой модели m. Все это предпоꢀ

лагает структуру некоторого ментального многообразия, которую я формулиꢀ

рую ниже.

Пусть Q⁺— множество положительных рациональных чисел; р, q, r, q₁, q₂,

и т. д. — элементы Q⁺. Определим для множества Q⁺ментальное многообразие

L(Q⁺), которое задано в рамках 7ꢀОнтологии на основе следующего предиката:

Mod(r_r′, p_p′, q_q′, ↓, s_s′, ↑, Q⁺) ≡ ((rq = pq′) ∧ (r′q′ = p′q) ∧ (ps′ = rs) ∧

∧ (p′s = r′s′) ∧ (r, r′, p, p′, q, q′, s, s′ОQ⁺)),

где r_r′, p_p′, s_s′— бичисла, степень и основания которых могут быть рациональныꢀ

ми числами, = — равенство между рациональными числами.

Функторы ↓ и ↑ определим по следующим правилам:

⎛

′ ⎞

pq

q

⎜

⎟

↓(p , q ) =

,

′

q

p

⎛

′

q

⎞

p q

′

⎝

⎠

⎜

⎟

⎝

⎠

rs

⎛

⎜

⎞

⎟

↑(r , s ) =

.

′

s

r

′ ′

s

r s

⎛

⎜

⎞

⎟

′

s

⎝

⎠

⎝

⎠

Можно показать, что при такого рода определениях выполнены аксиомы

(АО1) и (АО2) 7ꢀОнтологии (см. Приложение 3; наст. изд., т. I, кн. 1, с. 701—706)

с фиксированными проектором (↓), сюръектором (↑) и спецификатором (Q⁺).

Следовательно, мы имеем в этом случае дело с некоторым ментальным многоꢀ

образием L(Q⁺) = <М₁, М₂, М₃, М₄, М₅, М₆, М₇>, которое я буду далее использоꢀ

вать для выражения основных конструкций египетской арифметики. Выражеꢀ

ния ↓(p_p′, q_q′) и ↑(r_r′, s_s′) я буду изображать в виде p_p′↓q_q′и r_r′↑s_s′соответственно.

↓ — операция проецирования, и для моды p₁↓q₁получим бичисло (p/q)_q,

т. е. (p/q) qꢀединиц. Наоборот, если дано бичисло p_q, то его можно представить

как моду (p?q)₁↓q₁в L(Q⁺). Итак, все возможные бичисла p_q, где p, qОQ⁺, взаꢀ

имно однозначно сопоставлены с множеством мод из L(Q⁺). Для бичисел вида

р₁(с основанием 1) я буду также использовать запись р.

Для каждого модуса р из L(Q⁺) любая модель q из L(Q⁺) может выступать

в качестве модели, на которой модус р может образовывать моду p↓q. Рассмотꢀ

рим случай, когда р = q. Тогда p↓q есть р↓р, т. е. (р/р)_р, равное 1_р. Таким обраꢀ

зом, в модели р модус р образует моду р↓р как рꢀединицу. Такая модель для моꢀ

дуса р единственная. Назовем эту модель канонической для модуса р. Итак,

ментальное многообразие L(Q⁺) 1ꢀканоническое, множество моделей М₃(р),

определенных для каждого модуса р, совпадает с множеством всех моделей,

и между модусами и их каноническими моделями установлена биекция. Таким

образом, L(Q⁺) — регулярное ментальное многообразие.

≡

74

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Также можно показать, что все отношения эквивалентности между модами

(модусами) сводятся в L(Q⁺) в конечном итоге к двум эквивалентностям:

1) более слабой эквивалентности =_е, где a_b=_еc_dесли только если ab = cd;

2) более сильной эквивалентности ≡_е, где a_b=_еc_dесли только если a = с и b = d.

Это как раз те эквивалентности, которые использовались выше.

Введем также следующие функторы:

d_c(a_b) ≡_e↓(a_b, c) ≡_e(a/c)_bc— cꢀдифференциал;

i_c(a_b) ≡_e↑(a_b, c) ≡_e(ac)_b/c— cꢀинтеграл.

Через эти операторы могут быть выражены почти все введенные ранее опеꢀ

раторы на бичислах.

1) Оператор b, 1ꢀпредставления Р_{b, 1}может быть выражен в виде: Р_{b, 1}(а_b) ≡_e

≡_ei _b(а_b) ≡_eab, т. е. как bꢀинтеграл,

2) Оператор 1, bꢀпредставления Р_{1, b}может быть выражен в виде: Р_{1, b}(а) ≡_e

≡_ed_b(а) ≡_e(a/b)_b, т. е. как bꢀдифференциал,

3) Оператор инверсии может быть выражен в виде композиции d_ao i_b

аꢀдифференциала и bꢀинтеграла, т. е. I(a_b) ≡_ed_ao i_b(a_b) ≡_eb_a.

Начальным этапом развития любой арифметики, в том числе и древнеегиꢀ

петской, можно считать, поꢀвидимому, конечный натуральный ряд 1, 2, 3, …, М,

где М — максимальное натуральное число ¹.

Ряд 1, 2, …, М может быть рассмотрен как конечный ряд 1ꢀчисел, т. е. мод

1↓1, 2↓1, …, М↓1 в ментальном многообразии L(Q⁺). С этой точки зрения это

конечный ряд бичисел 1₁, 2₁, …, М₁. На этом ряде, поꢀвидимому, вполне естеꢀ

ственно определить операцию 1ꢀсложения (+₁) по правилу: а₁+₁b₁є_е(a+b)₁,

если a + b < М, и а₁+₁b₁= М₁, если a + b ≥ М. Таким образом обеспеченный коꢀ

нечный ряд 1, 2, …, М вместе с операцией 1ꢀсложения будем рассматривать как

e

первую структуру, S₁, развития еꢀчисла.

Следующий этап развития еꢀчисла связан с возникновением еꢀумножения.

Последнее в свою очередь обязано своим существованием образованию аꢀуровꢀ

ней, где а — натуральное число, большее единицы. Элементы аꢀуровней (аꢀчисꢀ

ла) представлены в левых столбцах таблиц для умножения. Первым таким

уровнем мог быть только 2ꢀуровень, что выразилось в частом использовании

удвоений в левом столбце таблицы умножения. Но в общем случае еꢀумножеꢀ

ние приводит к образованию множества аꢀуровней; аꢀуровень — это вначале

ряд бичисел 1_а, 2_а, …, М(а)_а, где М(а) — максимальное натуральное число на

аꢀуровне. С этой точки зрения максимальное число М на 1ꢀуровне может быть

обозначено как М(1). Так как для аꢀчисел постоянно имеются в виду их 1ꢀпредꢀ

ставления, то те аꢀчисла, которые имеют свои 1ꢀпредставления вне конечного

1ꢀряда 1₁, 2₁, …, М₁, поꢀвидимому, вначале смысла не имеют (т. е. не различаютꢀ

ся как самостоятельные объекты). Это требование может быть выражено слеꢀ

1

См., напр.: Энциклопедия элементарной математики. Кн. 1: Арифметика / Под ред. П. С. Алекꢀ

сандрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. М.; Л.: Госиздат техн.ꢀтеорет. лит., 1951. С. 26.

≡

75

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

дующим образом: допустимы только те аꢀчисла b_a, для которых Р_{а, 1}(b_a) ≤ М₁.

Бичисло b_a— это мода (b · a)↓а в ментальном многообразии L(Q⁺). Итак, поꢀ

сле образования мод а↓1, где а ∈ {1, 2, …, М(1)}, возникают моды (b · a)↓а, где

b · a не должно выводить за рамки М(1) и b ∈ {1, 2, …, М(1)}. Такое изменение

представляет себой в первую очередь возникновение в качестве моделей

в L(Q⁺) не только 1, но и неединичных натуральных чисел а. Однако вначале

среди расширенного множества моделей доминирует модель 1, что выражается

в требовании образования только таких мод в модели а, которые получают свое

представление в модели 1. Такое первое расширение моделей приводит к возꢀ

никновению первых классов эквивалентности по отношению «=_е» — это подꢀ

множества множества мод одного модуса. В самом деле, если a_b=_еc_d, т. е. две

моды (a · b)↓b и (c · d)↓d из L(Q⁺) находятся в отношении эквивалентности

«=_е» как два бичисла, то a · b = c · d, т. е. мы имеем дело с двумя модами одного

модуса из L(Q⁺). Модус из e(Q⁺) — это то инвариантное, что остается во всех

его возможных модах. С этой точки зрения на втором этапе развития еꢀарифꢀ

метики таких инвариантных образований еще не возникает. Образуется лишь

то, что можно было бы назвать подмодусами модусов из L(Q⁺), — это объекты,

выражающие свою целостность на подмножествах мод модусов из L(Q⁺).

В общем случае, если имеется какоеꢀто множество мод р↓q из L(Q⁺), то для

этого множества можно построить специальную структуру по следующему обꢀ

щему правилу. В качестве модусов этой структуры определяем все числа, встреꢀ

чающиеся слева от стрелки в модах р↓q, в качестве моделей — все числа, встреꢀ

чающиеся справа от стрелки в модах р↓q. Для каждого полученного таким

образом модуса р определяем в качестве множества его моделей, М₃(р), множеꢀ

ство тех моделей, которые встречаются справа от стрелки в модах р↓q из общеꢀ

го множества мод р↓q. Такой алгоритм построения ментальных многообразий

на основе любого множества мод из L(Q⁺) будем называть алгоритмом поꢀ

строения подмногообразий L(Q⁺), имея в виду, что каждую построенную таким

образом структуру можно называть ментальным подмногообразием ментальноꢀ

го многообразия L(Q⁺). Ментальное подмногообразие для множества мод 1↓1,

2↓1, …, М(1)↓1 из L(Q⁺) обозначим через L₁(Q⁺). В L₁(Q⁺) М(1) модусов (это

числа 1, 2, .., М(1)) и одна модель 1. С образованием аꢀуровней множество мод

из e(Q⁺) расширяется — к модам а↓1, где а ∈ {1, 2, …, М(1)}, добавляются моды

(b · a)↓а, где b · a не должно выводить за рамки М(1) и b ∈ {1, 2, …, М(1)}. Менꢀ

тальное подмногообразие L(Q⁺) на этом множестве мод обозначим через

L₂(Q⁺). В L₂(Q⁺) более одной модели, и, что самое важное, возникают модусы,

имеющие более одной моды. Если имеются моды р↓q, р↓q′, …, р↓r одного модуꢀ

са р из ментального подмногообразия L(Q⁺), то образование модуса р можно

трактовать как достижение такого объема числовой инвариантности, которая

выражает себя на преобразованиях в указанном множестве мод. В данном слуꢀ

чае речь должна идти о нарастании мультипликативной инвариантности числа

(сокращенно: «mꢀинвариантность»), которая находит максимум своего выраꢀ

жения в ментальном многообразии L(Q⁺). Чем более множество тех чисел q,

≡

76

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

через которые число р может быть выражено как р=(р/q) · q, тем более mꢀинꢀ

вариантно р. В терминах подмногообразий L(Q⁺) это означает, что чем более

модус р имеет мод р↓q, тем более число р, представленное модусом р, mꢀинваꢀ

риантно. В самом деле, мода р↓q интерпретируется нами как бичисло (р/q)_q,

что в 1ꢀпредставлении дает величину (р/q) · q. С этой точки зрения развитие

еꢀчисла есть нарастание mꢀинвариантности, что оказывается эквивалентным

расширению множества мод в соответствующих модусах ментальных подмноꢀ

гообразий L(Q⁺) («соответствующими» я называю модусы в ментальных подꢀ

многообразиях L(Q⁺), сопоставленные одному рациональному числу).

Например, если М(1)=7, то вначале возникает ряд 1ꢀчисел 1₁, 2₁, 3₁, …, 7₁. Заꢀ

тем, в связи с нуждами еꢀумножения, возникают аꢀуровни. Например, 2ꢀуроꢀ

вень будет иметь элементы 1₂, 2₂, 3₂, так как 4₂дает уже в 1ꢀпредставлении чисꢀ

ло 8₁, что больше 7₁. 3ꢀуровень содержит два элемента 1₃и 2₃. Все остальные

уровни включают только по одному элементу: 1₄, 1₅, 1₆и 1₇. Такое ограничение

аꢀуровней связано с доминированием 1ꢀуровня. Кроме того, это доминироваꢀ

ние выражается и в том, что на аꢀуровнях допускаются только такие бичисла,

степени которых совпадают со степенью некоторого 1ꢀчисла. Но уже здесь все

числа получают хотя и минимальное, но полимодальное представление — их

mꢀинвариантность нарастает; например, число 4 как модус в ментальном подꢀ

многообразии e(Q⁺) представлено здесь модами 4₁, 2₂и 1₄. Это уже выражает 4

как то инвариантное, что остается в преобразованиях (4/1) · 1, (4/2) · 2

и (4/4) · 4. Надо понимать, что это не наше число 4, которое можно предстаꢀ

вить как модус в L(Q⁺), это некоторый промежуточный объект, который выраꢀ

жает наше 4 только в пределах своих мод (своего объема mꢀинвариантности).

За этими пределами он своей инвариантности не сохраняет, т. е., например, для

такого 4 неверно, что 4=(4/8) · 8, хотя неверно и обратное (здесь, поꢀвидимому,

мы должны говорить о третьем истинностном значении, кроме значений «истиꢀ

на» и «ложь»).

В рамках каждого аꢀуровня можно ввести аꢀсложение, аналогично тому, как

это было сделано для 1ꢀуровня, но относительно максимального числа М(а).

Для 1ꢀуровня для некоторых случаев выполнимо еꢀумножение и целочисленꢀ

ное еꢀделение. Такого рода структуру при доминировании модели 1 над всеми

e

остальными моделями можно обозначить как вторую структуру, S₂, развития

еꢀчисла.

Следующий этап развития древнеегипетской математики связан с возникноꢀ

вением дробей. Как было замечено выше, я предполагаю, что вначале возникаꢀ

ют аꢀдроби и лишь затем они переносятся на 1ꢀуровень. Возникновение же

аꢀдробей в свою очередь означает, что доминирование модели 1 ослабевает.

В самом деле, аꢀдробь (1/а)_а— это результат 1, аꢀпредставления бичисла 1₁.

Этот случай 1, аꢀпредставления отличен от таковых при условии доминироваꢀ

ния модели 1 тем, что на аꢀуровне образуется элемент, который не имеет своего

относительного аналога (бичисла с той же степенью) на 1ꢀуровне (так как на

1ꢀуровне вообще нет 1ꢀдробей). Таким образом, внутренняя структура аꢀуровня

≡

77

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

(структура степеней бичисел) впервые перестает быть только частью внутренꢀ

ней струкуры 1ꢀуровня. Это несомненно означает, что аꢀуровни приобретают

больше самостоятельности. С другой стороны, такое изменение вполне законоꢀ

мерно, так как появление аꢀдробей с точки зрения ментального многообразия

L(Q⁺) есть только расширение множества мод одного модуса.

Определим аꢀпредставление для bꢀуровня. Оператор а, bꢀпредставления,

Р

_{a, b}, может быть введен как композиция операторов а, 1ꢀпредставления и 1,

bꢀпредставления, т. е. Р_{a, b}= P_{1, b}o P_{a, 1}= d_bo i _а. Уподобление внутренней структуꢀ

ры 1ꢀуровня внутренней структуре аꢀуровня передавалось выше действием опеꢀ

ратора реляции: R(a_b) ≡_еа₁. Поꢀвидимому, этот случай может быть обобщен

введением сꢀрелятивизации, R_c(оператор сꢀреляции), где R_c(a_b) ≡_еа_с.

Дальнейший ход развития еꢀчисла может быть теперь выражен достаточно

единообразно. После доминирования 1ꢀуровня рано или поздно происходит

определение аꢀуровней. В процессе перехода от L_i(Q⁺) к L_i+1(Q⁺) фиксирована

структура L_i(Q⁺), и относительно нее идет расширение уровней (в том числе

и 1ꢀуровня). При этом расширению не обязательно подвергаются все уровни,

можно выделять один или несколько уровней, для которых происходит образоꢀ

вание новых элементов. Именно эти уровни составляют «точки роста», в рамꢀ

ках которых накапливаются новые структуры. Остальные уровни остаются боꢀ

лее или менее фиксированными. Уровни, для которых происходит образование

и накопление новых элементов, будем называть варьирующими уровнями,

остальные уровни — константными.

Отвлекаясь от частностей перехода от L₁(Q⁺) к L₂(Q⁺), определим теперь

переход от L_i(Q⁺) к L_i+1(Q⁺) в общем случае в следующем виде. Пусть множеꢀ

ство мод L_i+1(Q⁺), т. е. множество М₁ⁱ⁺¹, содержит в себе множество мод L_i(Q⁺),

т. е. М₁ⁱ, как свое собственное подмножество. Новые моды в М₁ⁱ⁺¹, отсутствуꢀ

ющие в М₁ⁱ, — это либо элементы уровней из L(Q⁺) (обозначим это множество

через U_i), либо элементы тех аꢀуровней (моделей), которые (уровни) отсутствоꢀ

вали в L_i(Q⁺) (это множество обозначим через V_i); bꢀуровень является варьиꢀ

рующим уровнем тогда и только тогда, когда найдется мода а↓b ∈ U_i. Если же

мода а↓b ∈ V_i, то bꢀуровень впервые возникает с переходом к L_i+1(Q⁺). В остальꢀ

ном я считаю множество М₁ⁱ⁺¹\М₁ⁱпроизвольным. Таким образом, в расширении

множества мод участвуют два основных процесса: 1)расширения уже имеющихꢀ

ся уровней за счет операторов представления и реляции (элементы уровней,

полученные таким образом, — это элементы U_i), 2)возникновения новых уровꢀ

ней (элементы вновь возникших уровней — это элементы V_i. Они обязаны своꢀ

им возникновением в первую очередь действию оператора инверсии).

Все это сопровождается постоянным расширением ментальных подмногоꢀ

образий L_i(Q⁺) (это относится и к множеству моделей Мⁱ₃). В частности, возниꢀ

кают такие максимальные аꢀчисла, М(а)_а, что Р_{а, 1}(М(а)_а) > М(1)₁. Ранние стаꢀ

дии реального развития до некоторой степени согласуются с первоначальным

независимым определением 1ꢀуровня. Такой отрезок развития проявляется

в существовании аꢀчисел (b_a), которые не имеют 1ꢀпредставления или 1ꢀреляꢀ

≡

78

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

тивизации (в последнем случае не существует R₁(b_a) ≡_еb₁. Это, например, аꢀдроꢀ

би на том этапе, когда все 1ꢀчисла целые). Затем, наконец, 1ꢀуровень определяꢀ

ется зависимо от других аꢀуровней. Это приводит к расширению 1ꢀуровня,

(к введению 1ꢀдробей и, возможно, увеличению максимального числа М(1)),

затем под действием оператора инверсии по отношению к вновь возникшим

1ꢀчислам возникают новые уровни, и неединичные уровни определяются завиꢀ

симо от нового 1ꢀуровня, — и так это реципрокное расширение (такого рода проꢀ

цесс может быть назван «сопряжением») идет до тех пор, пока не будет достигꢀ

нуто ментальное многообразие L(Q⁺), которое уже не может быть расширено

подобным образом. Структура, воспроизводимая во время всех этих расширеꢀ

ний до возникновения L(Q⁺), может быть обобщенно представлена как третья

структура, S₃^e, развития еꢀчисла. Ее появление можно связывать с возникновеꢀ

нием дробей — по крайней мере аꢀдробей, но особенно 1ꢀдробей, что указывает

на хотя бы одно прохождение 1ꢀуровня через состояние зависимого определеꢀ

ния от других уровней.

С этой точки зрения высший этап развития еꢀчисла может быть отнесен

к тому состоянию третьей структуры, когда уже достаточно развиты неединичꢀ

ные уровни, в том числе и дробные, но для неединичных элементов дробных

уровней еще не осуществлено 1ꢀпредставление.

Если условно предположить, что вначале существовал 1ꢀряд 1₁, 2₁, …, 7₁, то

рядом с ним образовались аꢀуровни 1₂, 2₂, 3₂; 1₃, 2₃; 1₄; 1₅; 1₆; 1₇. Именно такой

состав неединичных уровней обусловлен доминированием 1ꢀуровня. Затем

действиями операторов проецирования и реляции происходит расширение неꢀ

единичных уровней. В какой именно последовательности происходит это расꢀ

ширение, насколько оно осуществляется — все это пока можно считать жестко

непредопределенным. Расширение может происходить поꢀразному, но в любом

случае будут работать операторы реляции, проецирования и инверсии. В нашем

примере мы легко можем построить ментальное подмногообразие L₂(Q⁺) над

множеством приведенных выше бичисел согласно описанному ранее алгоритꢀ

му. Так как бичисло a_b— это мода (а · b)↓b, то в нашем случае в L₂(Q⁺) входят

моды 1↓1, 2↓1, 3↓1, …, 7↓1, 2↓2, 4↓2, 6↓2, 3↓3, 6↓3, 4↓4, 5↓5, 6↓6, и 7↓7; модусы

(они стоят слева от стрелки в модах)1, 2, 3, …, 7 и модели (они стоят справа от

стрелки в модах)1, 2, 3, …, 7. Это ментальное подмногообразие нерегулярно: для

каждого модуса в качестве его моделей определены не все возможные модели,

но только часть из них. Далее, как мы видим из истории, начинается расширеꢀ

ние неединичных уровней при сохранении неизменной структуры 1ꢀуровня.

Это проявляется, в частности, в образовании аꢀдробей, 1ꢀпредставления котоꢀ

рых 1ꢀдробями еще не являются. Например, возникают 2ꢀдробь 1↓2, 3ꢀдробь

1↓3, 4ꢀдробь 1↓4…, 7ꢀдробь 1↓7 (напоминаю, что 1↓а ≡_е(1/а)_а). Образование

аꢀдроби 1↓а — это результат действия оператора 1, аꢀпредставления, так как

(1/а)_а≡_еР_{1, а}(1₁). Далее продолжать процесс расширения L₂(Q⁺) можно поꢀразꢀ

ному. Поꢀвидимому, та или иная конкретная последовательность расширений

во многом зависит от конкретных исторических обстоятельств. Но, повторяю,

≡

79

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

как бы ни складывались эти обстоятельства, они не смогут привести ни к чему

иному (пока идет именно расширение L_i(Q⁺)), кроме как к действиям, выражаꢀ

емым операторами реляции, представления и инверсии. Например, после обраꢀ

зования аꢀдробей 1↓а, они могут быть перенесены оператором 1ꢀреляции на

1ꢀуровень в качестве 1ꢀдробей: R₁((1/а)_а) ≡_е(1/а)₁. Затем под действием операꢀ

тора инверсии могут образоваться дробные единицы: I((1/а)₁) ≡_е1_1/аи их собꢀ

ственные уровни. Либо расширение ментального подмногообразия L₂(Q⁺) моꢀ

жет пойти по пути целочисленного заполнения аꢀуровней: действием оператора

аꢀреляции на 1ꢀуровень аꢀуровень начнет уподобляться 1ꢀуровню. Например,

7ꢀуровень от одного элемента 1₇расширится до множества элементов 1₇, 2₇, …,

7₇. Затем происходит 7, 1ꢀпроецирование элементов этого уровня, что расширяꢀ

ет 1ꢀуровень до 49₁как максимального1ꢀчисла: Р_{7, 1}(7₇) ≡_е49₁. Либо и образоваꢀ

ние 1ꢀдробей и целочисленное расширение неединичных уровней могут идти

параллельно. Ментальное подмногообразие L₂(Q⁺) можно считать существуꢀ

ющим до тех пор, пока областью определения операторов реляции, представлеꢀ

ния и инверсии остаются только моды L₂(Q⁺). Как только появляются новые

моды, на которых начинают действовать указанные операторы, можно считать

это случаем определения следующего по отношению к исходному ментальному

подмногообразию. Например, рассмотренный выше пример образование аꢀдроꢀ

бей, (1/а)_а, — это результат действия оператора 1, аꢀпроецирования на элемент

1₁1ꢀуровня, который является модой L₂(Q⁺). Тогда образование аꢀдробей моꢀ

жет быть отнесено к процессу перехода от L₂(Q⁺) к L₃(Q⁺) (это не значит, что

этот процесс реально происходит при переходе от L₂(Q⁺) к L₃(Q⁺), но он возмоꢀ

жен при этом переходе). Что же касается, например, образования 1ꢀдробей,

(1/а)₁, то они обязаны своим возникновением действию оператора 1ꢀреляции

на аꢀдроби, но аꢀдроби не относятся к модам L₂(Q⁺). Таким образом, образоваꢀ

ние 1ꢀдробей — это по крайней мере часть процесса перехода от L₃(Q⁺)

к L₄(Q⁺) (опятьꢀтаки этот процесс только возможен при переходе от L₃(Q⁺)

к L₄(Q⁺), но он точно невозможен при переходе от L₂(Q⁺) к L₃(Q⁺)). Дело

в том, что не все процессы, способные произойти при переходе от L_i(Q⁺)

к L_i+1(Q⁺), могут быть осуществлены только при этом переходе, на любом этапе

расширения ментальных подмногообразий могут продолжать идти процессы,

которые способны были совершиться и на более ранних этапах расширения, но

по тем или иным причинам были приостановлены. По крайней мере, в процессе

перехода от L_i(Q⁺) к L_i+1(Q⁺) происходит возникновение одной новой моды,

отсутствующей в L_i(Q⁺). Как уже говорилось выше, те уровни (модели), котоꢀ

рые были в L_i(Q⁺) и пополняются новыми элементами, называются варьируюꢀ

щими уровнями. Те уровни, которые не меняются, но предоставляют материал

для варьирования, — это константные уровни. Например, при образовании

аꢀдробей 1ꢀуровень константен, а остальные уровни, или часть из них, варьируꢀ

ет. Все уровни не могут варьировать, так как варьирование всегда идет относиꢀ

тельно константных уровней. С другой стороны, предполагается, что и все

уровни не могут быть константными, и рано или поздно, если варьирование

≡

80

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

возможно, оно осуществляется (это утверждение можно было бы назвать «поꢀ

стулатом самодвижения»). С точки зрения выделения варьирующих и константꢀ

ных уровней развитие представляет из себя циклический процесс, в котором

происходит постоянный обмен между этими двумя видами уровней. Особое поꢀ

ложение занимает возникновение новых уровней, что определяется в первую

очередь созданием единицы нового уровня под действием оператора инверсии:

I(а₁) ≡_е1_а.

Почему у древних египтян с таким трудом происходил процесс образования

неосновных дробей? В то время как 1ꢀуровень был уже достаточно обширен,

были достаточно развиты неединичные уровни для того, чтобы предполагать

осуществление достаточно большого числа циклов развития, — и, несмотря на

все это, практически не происходит образования неосновных 1ꢀдробей, за исꢀ

2

3

ключением /₃и /₄. Можно предположить, что неосновные дроби как бы не

были достаточно самостоятельными числами для древних египтян. Это значит,

что множество еꢀчисел было организовано в такую структуру, в которой неꢀ

основные дроби не находили своего выражения как 1ꢀдроби. Наоборот, только

числа вида 1/M*, 1/(M*ꢀ1), 1/(M*ꢀ2), …, ¹/₃, ¹/₂, 1, 2, 3, …, M считались «настояꢀ

щими» числами. И это относилось к любому уровню. Таким образом, можно

предположить, что постепенно в развитии еꢀчисла получала свое все большее

оформление структура бичисел определенного вида (см. табл. 20).

Таблица 20

.

. . .

1/5₅1/4₅1/3₅1/2₅

1/5₄1/4₄1/3₄1/2₄

1/5₃1/4₃1/3₃1/2₃

1/5₂1/4₂1/3₂1/2₂

1/5₁1/4₁1/3₁1/2₁

1₅

1₄

1₃

1₂

1₁

2₅

2₄

3₅

3₄

4₅

4₄

5₅

5₄

2₃

3₃

4₃

5₃

2₂

3₂

4₂

5₂

2₁

3₁

4₁

5₁

1/5_1/21/4_1/21/3_1/21/2_1/21_1/2

1/5_1/31/4_1/31/3_1/31/2_1/31_1/3

1/5_1/41/4_1/41/3_1/41/2_1/41_1/4

1/5_1/51/4_1/51/3_1/51/2_1/51_1/5

2_1/2

2_1/3

2_1/4

2_1/5

3_1/2

3_1/3

3_1/4

3_1/5

4_1/2

4_1/3

4_1/4

4_1/5

5_1/2

5_1/3

5_1/4

5_1/5

.

Горизонтально здесь идут уровни, т. е. множества чисел с одним основанием.

Вертикально проходят ряды чисел с одной степенью. Такого рода структуру

можно называть египетской решеткой (сокращенно: «еꢀрешетка»). Именно

еꢀрешетка позволяет ввести любое рациональное число, избегая введения неꢀ

основных дробей как 1ꢀдробей. В самом деле, любое рациональное число а/b

может быть представлено как целое число а_(1/b)в еꢀрешетке, не требуя обязаꢀ

тельного введения 1ꢀдроби (a/b)₁. Именно это мы и наблюдаем в древнеегипетꢀ

≡

81

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

ской арифметике. Неосновные дроби присутствуют здесь, но не как 1ꢀдроби,

а лишь как целые числа на дробных уровнях. Именно структура еꢀрешетки делаꢀ

ла в какойꢀто мере избыточной процедуру введения общей формы представлеꢀ

ния положительного рационального числа. В то же время потребности вычисꢀ

ления постоянно приводили к необходимости представления любых бичисел

в 1ꢀряде, что предполагало выход за рамки равноправия всех уровней в еꢀреꢀ

шетке и постепенно возвращало положение дел к доминированию 1ꢀуровня. Но

теперь это доминирование начинало приобретаться на основе многократного

зависимого определения 1ꢀуровня от других уровней. Все элементы еꢀрешетки

могут быть представлены на любом уровне и в первую очередь на 1ꢀуровне.

При таком представлении двумерная еꢀрешетка «захлопывается» в одномерꢀ

ный числовой ряд. Это «захлопывание» не может быть окончательным до тех

пор, пока 1ꢀуровень не будет содержать всех положительных рациональных

чисел, и до тех пор 1ꢀуровень нуждается в других уровнях для порождения ноꢀ

вых рациональных чисел. Таким образом, можно ввести такое уточнение в предꢀ

ставленную выше модель развития еꢀчисла. В этом развитии действуют две

основные силы: 1) сила дифференцирующая (vis differentialis), порождающая все

большее разнообразие бичисел и уравнивающая их все в рамках структуры

еꢀрешетки, 2) сила интегрирующая (vis integralis), приводящая к унифицироꢀ

ванному представлению всех бичисел в рамках 1ꢀуровня. После первоначальꢀ

ного доминирования конечного 1ꢀуровня возникает преобладание дифференꢀ

циации, «проявляющей» структуру еꢀрешетки и налагающей ограничения на

самостоятельное выражение элементов, выходящих за рамки еꢀрешетки. Заверꢀ

шение развития положительного рационального числа знаменуется вновь полꢀ

ным преобладанием теперь уже бесконечного 1ꢀуровня. Эта окончательная поꢀ

беда 1ꢀуровня делает излишней бичисловую структуру рационального числа,

так как все элементы всех уровней теперь уже могут быть выражены на 1ꢀуровꢀ

не (такого рода завершение идеи положительного рационального числа мы виꢀ

дим только в древневавилонской арифметике, использующей позиционную сиꢀ

стему счисления и возможность унифицированного представления любой

дроби ¹. С переходом от тех или иных фрагментов «проявления» еꢀрешетки ко

множеству рациональных чисел структура бичисла и еꢀрешетки становится изꢀ

лишней — это яркий пример «финализма» развития, когда с достижением фиꢀ

нальной структуры во многом теряют свое значение промежуточные структуры.

Можно предположить, что окончательный переход ко множеству положиꢀ

тельных рациональных чисел совершается опятьꢀтаки благодаря (хотя в некоꢀ

торой степени и вопреки) бичисловой структуре. В структуре еꢀрешетки залоꢀ

жен не только момент рядополагания всех бичисел и всех уровней, но и момент

циклической организации числового ряда, позволяющей перейти к идее числоꢀ

вой бесконечности. Позиционная система счисления предполагает некоторое

основание системы М, например, 10 в десятичной системе, 60 в шестидесятиꢀ

1

См., напр.: Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. С. 50—59.

≡

82

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

ричной системе и т. д. Можно предположить, что это основание когдаꢀто было

максимальным числом в конечном натуральном ряде 1, 2, 3, …, М. Возникновеꢀ

ние бичисловой структуры при этих условиях приводит к представлению о М

как о новой единице 1_М. Мꢀуровень воспроизводит в своей внутренней органиꢀ

зации 1ꢀуровень: 1_М, 2_М, …, М_М, образуя при 1ꢀпредставлении в качестве максиꢀ

мального числа величину М²: Р_{М, 1}(М_М) ≡_е(М²)₁. Именно накопление такого

рода циклов должно было привести, как я думаю, к постепенному осознанию

бесконечности числовой структуры. Нечто подобное происходило и для нижꢀ

ней границы числа. Мꢀпредставление 1₁дает минимальную Мꢀдробь (1/М)_М,

которая оператором реляции может быть перенесена на 1ꢀуровень. Повторение

той же процедуры по отношению к М²ꢀуровню приводит к образованию 1ꢀдроби

1/М². И вновь здесь заложены истоки числовой бесконечности как выражение

уровневой организации бичисла. Конечно, переход от конечного множества

циклов к идее бесконечной числовой спирали предполагает нетождественное

преобразование (в связи с чем наличие позиционной системы счисления еще не

означает бесконечности числового ряда), но при описанных условиях, как

представляется, эта нетождественность минимальна и вполне «предрасполагаꢀ

ет», если так можно выразиться, к трансцендированию за рамки конечного.

Итак, моя гипотеза состоит в утверждении тесной связи позиционного представꢀ

ления и бесконечности рационального положительного числа. Связующим звеꢀ

ном в этом взаимодействии оказывается бичисло. Непозиционное выражение

числовой бесконечности является с этой точки зрения более поздним приобреꢀ

тением. Вообще позиционная система счисления — это своего рода «атавизм»

бичисловой структуры в современной концепции числа. Отношение к ней как

к чисто знаковому образованию, служащему лишь целям удобства представлеꢀ

ния чисел, — еще один яркий пример финализации развития в современной маꢀ

тематике.

Итак, именно бичисловая гипотеза позволяет понять все существенные осоꢀ

бенности развития положительного рационального числа, что было продемонстꢀ

рировано выше на материале древнеегипетской арифметики. Именно Древний

Египет, возможно, изꢀза своей консервативности и приверженности традициям,

оказался тем источником исторических фактов, который позволил зафиксироꢀ

вать и донести до нас в наибольшей полноте фрагменты ранних стадий развиꢀ

тия положительного рационального числа. Учитывая фундаментальность

арифметики в составе математического знания, новые данные, вытекающие из

бичисловой организации числа, должны привести к переосмыслению идеи чисꢀ

ла вообще и тех оснований, которые обеспечивают его ноуменальное бытие.

В частности, я думаю, что структура ментального многообразия окажется в этом

случае одним из первичных понятий, составляющих фундамент всякой опредеꢀ

ленности. С этой точки зрения роль подобной структуры может быть сравнима

сегодня разве что с ролью теоретикоꢀмножественных концептуализаций. Это

одинаково фундаментальные структуры, лежащие на пересечении миров матеꢀ

матики и философии.

≡

83

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

§ 4. Условное количество

Мы привыкли к тому, что количество — это нечто безусловное. Например, коꢀ

личество жидкости в стакане, или размеры дома, или количество лет — все это

нечто вполне определенное и неотносительное. Даже если современная физика

представляет некоторые величины относительными, например время, скорость

движения материального тела или его массу, то все же идея количества как таꢀ

кового поꢀпрежнему мыслится вне идеи относительности. Давайте попытаемся

распространить принцип относительности и на само чистое количество, матеꢀ

матическое число. Итак, предположим, что

количество (число) относительно.

Ниже я постараюсь проиллюстрировать эту идею на примере построения

числовых ментальных многообразий.

Представьте, что вы общаетесь с человеком, который гораздо выше вас росꢀ

том. Тогда, поꢀвидимому, вы почувствуете себя коротышкой. Наоборот, на фоне

низкого человека вы ощутите себя высоким. Следовательно, чувство роста отꢀ

носительно. В определение роста входит сравнение с некоторым фоновым росꢀ

том. Возрастание фонового роста приводит к уменьшению своего роста, и наꢀ

оборот. Представим, что эту идею можно перенести на математические числа,

например на множество вещественных чисел. Например, каждое число х можно

рассмотреть «на фоне» другого числа у. Обозначим это состояние через х↓у —

«хꢀнаꢀфонеꢀу». Это же состояние можно представить как бичисло х_у, подобное

бичислам в случае развития египетской арифметики.

Пусть T_R— некоторая теория вещественного числа, в рамках которой в каꢀ

честве теорем могут быть представлены все основные свойства вещественных

чисел. В T_Rсредствами элементарной предикатной 5↓↑αꢀОнтологии можно

рассмотреть, например, уже приводившуюся выше версию ментального многоꢀ

образия на бичислах.

1. Мультипликативная 5↓_m*↑_m*m*ꢀОнтология:

(m*)

Mod(r_r′, p_p′, q_q′, ↓_m*, s_s′, ↑_m*, m*) ≡ ((rq = pq′) ∧ (r′q′ = p′q) ∧

∧ (ps′ = rs) ∧ (p′s = r′s′) ∧ (r, r′, p, p′, q, q′, s, s′ ∈ R\{0})),

где r_r′, p_p′, s_s′— бичисла, степень и основания которых могут быть ненулевыми

вещественными числами, = — равенство между вещественными числами.

Функторы ↓_m*и ↑_m*определим по следующим правилам:

⎛

′ ⎞

pq

q

⎜

⎟

↓

↑

(p , q )=

,

′

q

m*

p

⎛

′

q

⎞

p q

′

⎝

⎠

⎜

⎟

⎝

⎠

rs

⎛

⎜

⎞

⎟

(r , s )=

.

′

s

r

′ ′

r s

⎛

⎜

⎞

⎟

′

s

⎝

⎠

s

⎝

⎠

≡

84

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

В частном случае при равенстве единице оснований бичисел получим:

↓_m*(p₁, q₁) = (p/q)_q

↑_m*(r₁, s₁) = (rs)_1/s

,

т. е. m*ꢀпроектор будет выражаться в делении, m*ꢀсюръектор — в умножении

степеней бичисел.

В этой Онтологии можно доказать, например, следующие теоремы.

Теорема 1 (m*)

Mod²⁴⁶⁷(a_b, ↓_m*, ↑_m*, m*) ≡ (a ∈ R\{0}) ∧ (b ∈ R\{0}).

Теорема 2 (m*)

Mod³⁴⁶⁷(a_b, ↓_m*, ↑_m*, m*) ≡ (a ∈ R\{0}) ∧ (b ∈ R\{0}).

Теорема 3 (m*)

Mod⁴⁵⁶⁷(↓_m*, a_b, ↑_m*, m*) ≡ (a ∈ R\{0}) ∧ (b ∈ R\{0}).

Теорема 4 (m*)

Mod¹²⁴⁶⁷(r_r′, p_p′, ↓_m*, ↑_m*, m*) ≡ (rr′ = pp′) ∧ (r, r′, p, p′ ∈ R\{0}).

Доказательство (см. Приложение 16)

Теорема 5 (m*)

(a_b=^m*c_e) ≡ (ab = ce) ∧ (a, b, c, e ∈ R\{0}).

Теорема 6(m*)

(a_b=^m*2₁₃₅c_e) ≡ (a = c) ∧ (b = e) ∧ (a, b, c, e ∈ R\{0}).

Таким образом, любые два ненулевых вещественных числа a и b образуют

m*ꢀмодус a_b, который одновременно является m*ꢀмоделью и m*ꢀмодулем.

m*2

Сильное

₁₃₅ꢀравенство различает m*ꢀмодусы с точностью до числовых раꢀ

венств степеней и оснований бичисел, что порождает бесконечно много различꢀ

ных m*ꢀмодусов (см. Теорему 6(m*)). Более слабое m*ꢀравенство различает

m*ꢀмодусы только с точностью до числового равенства произведений степеней

и оснований бичисел (см. Теорему 5(m*)). Что касается модального порядка,

то, как ни странно, он совпадает с m*ꢀравенством (см. Теорему 4(m*)). Более

прозрачным смысл этого порядка становится в случае, когда в формуле

Mod¹²⁴⁶⁷(r_r′, p_p′, ↓_m*, ↑_m*, m*) берется модус р₁с положительной степенью р и осꢀ

нованием 1. В этом случае, согласно Теореме 4(m*), имеем условие (rr′ = p), или

(r = (p/r′)). Если, например, основание моды r_r′, т. е. число r′, будет больше едиꢀ

ницы, то r будет меньше р, и модальный порядок окажется согласованным

с числовым порядком. Но в общем случае модальный порядок может отличатьꢀ

ся от числового порядка. Согласование этих двух порядков полностью достигаꢀ

ется в рамках мультипликативной 5↓_m↑_mmꢀОнтологии с предикатом

(m)

Mod(r, p, q, ↓_m, s, ↑_m, m) ≡ ((rq = p) ∧ (p = rs) ∧ (q ≥ 1) ∧

∧ (r, p, q, s ∈ R) ∧ (r, p, q, s > 0)),

≡

85

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

где функторы ↓_mи ↑_mопределены по правилу:

↓_m(p, q) = p/q

↑_m(r, s) = rs.

Таким образом, проектор ↓_m— это просто деление, сюръектор ↑_m— просто

умножение. В этой Онтологии проективноꢀмодальный порядок есть в точности

числовой порядок, так как может быть доказана

Теорема 1 (m)

Mod¹²⁴⁶⁷(r, p, ↓_m, ↑_m, m) ≡ (r ≤ p) ∧ (r, p ∈ R) ∧ (r, p > 0).

Вернемся теперь к нашему примеру с ростом. Например, человек А, обладаꢀ

ющий «абсолютным» ростом а, общается с людьми В и С, у которых соответꢀ

ственно «абсолютный» рост b и c. Тогда А определяет свой относительный

(условный) рост как a↓_m*b =^m*(a/b)_bотносительно роста В и как a↓_m*c =^m*(a/c)_c

относительно роста С. Если b > a, то a/b окажется меньше 1. Если b = a, то

a/b = 1. Наконец, если b < a, то a/b > 1. С другой стороны, можно считать, что

если субъект А не сравнивает свой рост с ростом когоꢀлибо еще, то этот случай

можно считать случаем сравнения роста А с ростом А. Здесь рост будет опредеꢀ

лен как a↓_m*a =^m*(a/a)_a=^m*1_a. Введем для бичисла a_bвеличину deg(a_b) = a — стеꢀ

пень бичисла a_b. Общаясь с людьми В, С, человек А, определяет свой рост тремя

бичислами:

(a/a)_a— рост А относительно себя;

(a/b)_b— рост А относительно роста В;

(a/с)_с— рост А относительно роста С.

Кажется, что в итоге у человека сложится некоторое среднее для этих значеꢀ

ний определение роста, причем, поꢀвидимому, в этом среднем должны учитыꢀ

ваться только степени бичисловых определений относительного роста:

deg((a/a)_a) = 1 — степень роста А относительно себя;

deg((a/b)_b) = (a/b) — степень роста А относительно роста В;

deg((a/с)_с) = (a/с) — степень роста А относительно роста С.

Например, такой усредняющей функцией могло бы быть среднее геометриꢀ

ческое (mꢀсреднее):

medm{1, (a/b), (a/c)} = (1(a/b)(a/c))^1/3

.

Величина этого среднего и была бы некоторой итоговой относительной веꢀ

личиной условного роста А в рамках общения с субъектами В и С.

Из этой модели вытекают, например, такие следствия, что если в поле вниꢀ

мания А попадает больше высоких людей, то средняя относительная величина

роста А падает, и наоборот, при возрастании доли людей ниже ростом, чем А,

средняя относительная величина роста А возрастает.

≡

86

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Таков один из примеров условного количества. При оценке своего роста чеꢀ

ловек сравнивает его с ростом других людей, образует относительные величиꢀ

ны таких сравнений и переживает их некоторое среднее. В итоге в сознании

субъекта А возникает условное количество собственного роста, зависящее от

объема сравнений и его состава. Этот пример, как мне представляется, достаꢀ

точно типичен. Рост — лишь одна из ценностей, и возможно, подобная матемаꢀ

тика условного количества может быть применена и к другим ценностям — уму,

красоте, силе и т. д. В такого рода ситуациях возникают условные (относительꢀ

ные) количества, зависящие, как от своего фона, от других количеств, и итогоꢀ

вое количество формируется как некоторое усреднение множества своих условꢀ

ных определений в некотором объеме определения.

Аналогично мультипликативным бичислам, могут быть построены аддитивꢀ

ные бичисла. Здесь будет полный изоморфизм.

2. Аддитивная 5↓_a*↑_a*a*ꢀОнтология:

(a*)

Mod(r_r′, p_p′, q_q′, ↓_a*, s_s′, ↑_a*, a*) ≡ ((r + q = p + q′) ∧ (r′ + q′ = p′ + q) ∧

∧ (p + s′ = r + s) ∧ (p′ + s = r′ + s′) ∧ (r, r′, p, p′, q, q′, s, s′ ∈ R)),

где r_r′, p_p′, s_s′— бичисла, степень и основания которых могут быть любыми веꢀ

щественными числами, = — равенство между вещественными числами.

Функторы ↓_a*и ↑_a*определим по следующим правилам:

↓_a*(p_p′, q_q′) = (p + q′ – q)_{(p′ + q – q′)}

↑_a*(r_r′, s_s′) = (r + s – s′)_{(r′ + s′ – s)}

.

В частном случае при равенстве нолю оснований бичисел получим:

↓_a*(p₀, q₀) = (p – q)_q

↑_a*(r₀, s₀) = (r + s)_–s,

т. е. a*ꢀпроектор будет выражаться в разности, a*ꢀсюръектор — в сложении стеꢀ

пеней бичисел.

В этой Онтологии можно доказать, например, следующие теоремы.

Теорема 1 (a*)

Mod²⁴⁶⁷(a_b, ↓_a*, ↑_a*, a*) ≡ (a ∈ R) ∧ (b ∈ R).

Теорема 2 (a*)

Mod³⁴⁶⁷(a_b, ↓_a*, ↑_a*, a*) ≡ (a ∈ R) ∧ (b ∈ R).

Теорема 3 (a*)

Mod⁴⁵⁶⁷(↓_a*, a_b, ↑_a*, a*) ≡ (a ∈ R) ∧ (b ∈ R).

Теорема 4 (a*)

Mod¹²⁴⁶⁷(r_r′, p_p′, ↓_a*, ↑_a*, a*) ≡ (r + r′ = p + p′) ∧ (r, r′, p, p′ ∈ R).

Таким образом, а*ꢀОнтология описывает условное аддитивное количество.

Например, расстояние до станции В по железной дороге — в общем случае веꢀ

≡

87

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

личина относительная. Если в качестве ноля принять станцию А на этой же доꢀ

роге, то расстояние от нее до В будет равно аддитивному бичислу (bꢀа)_а, если

станцию С — то (сꢀа)_а, где a, b, c — расстояния станций А, В, С соответственно

от некоторой «нулевой» станции N на этой дороге.

Легко заметить, что аналогичные «биэлементные» ментальные многообраꢀ

зия можно определять для любой группы G. Такое ментальное многообразие

можно обозначать символом G_G. Его элементами будут объекты вида a_b(«биꢀ

элементы»), где a, b ∈ G.

Точнее говоря, если дана группа G = <M, o>, где M — множество элементов

группы, o — групповая операция, то можно построить 5↓_g*↑_g*g*ꢀОнтологию по

следующим правилам.

3. 5↓_g*↑_g*g*ꢀОнтология:

(g*)

Mod(r_r′, p_p′, q_q′, ↓_g*, s_s′, ↑_g*, g*) ≡ ((roq = poq′) ∧ (r′oq′ = p′oq) ∧

∧ (pos′ = ros) ∧ (p′os = r′os′) ∧ (r, r′, p, p′, q, q′, s, s′ ∈ M)),

где r_r′, p_p′, s_s′— биэлементы, степень и основания которых могут быть любыми

элементами группы G, = — равенство между элементами группы.

Функторы ↓_g*и ↑_g*определим по следующим правилам:

↓_g*(p_p′, q_q′) = (poq′o(q^–1))_{(p′ o q o (q′}–1

))

↑_g*(r_r′, s_s′) = (r o s o (s′^–1))_{(r′ o s′ o (s}–1

,

))

где x^–1— элемент, обратный х.

В частном случае, при равенстве нейтральному элементу е оснований биэлеꢀ

ментов, получим:

↓_g*(p_e, q_e) = (p o (q^–1))_q

↑_g*(r₀, s₀) = (r o s)_s_–1,

т. е. g*ꢀпроектор будет выражаться в «групповой разности», g*ꢀсюръектор —

в «групповом сложении» степеней биэлементов.

В этой Онтологии можно доказать, например, следующие теоремы.

Теорема 1 (g*)

Mod²⁴⁶⁷(a_b, ↓_g*, ↑_g*, g*) ≡ (a ∈ M) ∧ (b ∈ M).

Теорема 2 (g*)

Mod³⁴⁶⁷(a_b, ↓_g*, ↑_g*, g*) ≡ (a ∈ M) ∧ (b ∈ M).

Теорема 3 (g*)

Mod⁴⁵⁶⁷(↓_g*, a_b, ↑_g*, g*) ≡ (a ∈ M) ∧ (b ∈ M).

Теорема 4 (g*)

Mod¹²⁴⁶⁷(r_r′, p_p′, ↓_g*, ↑_g*, g*) ≡ (r o r′ = p o p′) ∧ (r, r′, p, p′ ∈ M).

Например, для множества векторов некоторого линейного пространства V

можно задать ментальное многообразие V_Vс бивекторами x_y. Через такие биꢀ

векторы можно выражать идею условного вектора.

≡

88

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Аналогично тому как для 5↓_m*↑_m*m*ꢀОнтологии была определена более просꢀ

тая 5↓_m↑_mmꢀОнтология с проектором и сюръектором как делением и умножеꢀ

нием, для группы G = <M, o> можно определить более простую 5↓_g↑_ggꢀОнтолоꢀ

гию с предикатом

(g)

Mod(r, p, q, ↓_g, s, ↑_g, g) ≡ ((roq = p) ∧ (p = r o s) ∧ (r, p, q, s ∈ M)),

с функторами:

↓_g(p, q) = p o q^–1

↑_g(r, s) = r o s.

В частности, 5↓_a↑_aaꢀОнтологию можно воспроизвести и для аддитивной

группы на множестве вещественных чисел. Если, кроме того, добавить условие

неотрицательности аꢀмоделей, то получим согласование проективноꢀмодальꢀ

ного порядка и числового порядка. Итак, для 5↓_a↑_aaꢀОнтологии введем предикат:

(a)

Mod(r, p, q, ↓_a, s, ↑_a, a) ≡ ((r + q = p) ∧ (p = r + s) ∧ (q ≥ 0) ∧

∧ (r, p, q, s ∈ R)),

с функторами:

↓_a(p, q) = p – q

↑_a(r, s) = r + s.

Таким образом, проектор ↓_a— это просто вычитание, сюръектор ↑_a— просꢀ

то сложение. Как и для 5↓_m↑_mmꢀОнтологии, с которой 5↓_a↑_aaꢀОнтологии изоꢀ

морфна, здесь может быть доказана

Теорема 1 (а)

Mod¹²⁴⁶⁷(r, p, ↓_a, ↑_a, a) ≡ (r ≤ p) ∧ (r, p ∈ R).

Можно было бы также предположить, что с 5↓_g*↑_g*g*ꢀОнтологией и менꢀ

тальным многообразием G_Gсвязаны структуры развития группы G, подобные

структурам развития мультипликативной группы, описанным в разделе о древꢀ

неегипетской арифметике. Каждый элемент а группы G может быть представꢀ

лен как модус а_ев ментальном многообразии G_G, в качестве мод которого высꢀ

тупает множество биэлементов вида (a o (b^ꢀ1))_b. Нарастание множества таких

мод должно быть напрямую связано с ростом Gꢀобратимости и все более полꢀ

ным формированием группы G.

Подобно тому как в структуре вещественных чисел согласованы мультипликаꢀ

тивная и аддитивная группы, можно предположить согласование 5↓_m*↑_m*m*ꢀОнтоꢀ

логии и 5↓_a*↑_a*a*ꢀОнтологии в рамках некоторой Вещественной Бичисловой

Полионтологии на всем множестве вещественных бичисел. На бичислах могут

быть определены различные операции и функции. Если f : А → В — вещественꢀ

ная функция, то, например, для мультипликативного бичисла a_bможно опредеꢀ

лять различные аналоги функции f:

¹f(a_b) =_Df(f(a))_b— модальная функция, или 1ꢀфункция (действует только на

моды одной модели).

≡

89

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

³f(a_b) =_Df(a)_f(b)— модельная функция, или 3ꢀфункция (действует только на

модель).

¹³f(a_b) =_Df(f(a))_f(b)— модальноꢀмодельная функция, или 13ꢀфункция.

²f(a_b) =_Df(f(ab)/b)_b— модусная функция, или 2ꢀфункция.

Далее возникают бичисловые переменные х_у, бичисловые пределы, произꢀ

водные, интегралы и т. д. Например, если дана 1ꢀфункция ¹f(x_y) = (f(x))_y, то для

нее можно было бы определить, например, следующие приращения и произꢀ

водные:

1

∆_yf(x_y) =_Df¹f(x_y+∆y) ³– ¹f(x_y) = (f(x))_y+∆y³– (f(x))_y=_Df(f(x))_∆y.

1

∆_xf(x_y) =_Df¹f((x + ∆x)_y) ¹– ¹f(x_y) = (f(x + ∆x))_y¹– (f(x))_y=_Df(f(x + ∆x) – f(x))_y.

1

∆_yf(x_y)³/∆y =_Df(f(x))_∆y³/ (f(x))_∆y

=

1

_Df(f(x))_∆y/∆y= (f(x))₁.

1

∆_xf(x_y)¹/∆x =_Df(f(x + ∆x) – f(x))_y/∆x_y=_Df(f(x + ∆x) – f(x)/∆x)_y.

Отсюда получаем:

1

∂¹f(x_y)³/∂y =_Df

∆_yf(x_y)³/∆y =

(f(x))_∆y/∆y= (f(x))₁.

lim

∆y→0

1

∂¹f(x_y)¹/∂x =_Df

∆_yf(x_y)¹/∆x =

(f(x + ∆x) – f(x)/∆x)_y= (∂f(x)/∂x)_y.

lim

∆x→0

Здесь я использовал идею разных бичисловых операций:

1ꢀразности: a_b¹– c_b= (a – c)_b

3ꢀразности: a_b³– a_c= a_(bꢀc)

1ꢀделения: a_b¹/c_b= (a/c)_b

3ꢀделения: a_b³/a_c= a_(b/c)

.

Не настаиваю, что все должно быть именно так, но, поꢀвидимому, нечто поꢀ

добное могло бы иметь место при построении бичисловой математики.

Возможно, еще ждет своего дальнейшего развития целая «математика условꢀ

ного количества», обобщающая современную математику безусловного предꢀ

ставления числа.

§ 5. Екторные Онтологии

Можно рассматривать так называемые «екторные» Проективно Модальные

Онтологии, в которых есть один функтор («ектор»), способный выполнять

роль и проектора, и сюръектора, в зависимости от вида второго аргумента (моꢀ

дели или модуля, которые можно называть общим термином «модулер»).

Например, в аддитивной Проективно Модальной Онтологии ектор — это

сложение, в мультипликативной ектор — умножение. Если говорить об этих

видах Онтологий, где проективноꢀмодальныйꢀпорядок согласован с числовым

порядком, то, например, в аддитивной Онтологии, как было показано выше,

модели должны быть неположительными, а модули — неотрицательными.

≡

90

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Пусть 5_а— сложение как аддитивный ектор. Тогда можем записать:

A5_аB = A↓_a(–B) при B < 0,

A↑_aB при B > 0,

A↓_aB = A↑_aB при В = 0.

Здесь A↓_aB = А – В, A↑_aB = А + В.

Можно было бы подумать, что ектор (как сложение) — то же, что сюръекꢀ

тор. Но замечу, что аддитивный сюръектор — это условное сложение, т. е. слоꢀ

жение только со слагаемыми не меньше ноля.

Аналогично для мультипликативной Онтологии с ектором 5_mкак умножеꢀ

нием * получим:

A5_mB =A↓_m(B^–1) при B < 1,

A↑_mB при B > 1,

A↓_mB = A↑_mB при В = 1.

Здесь A↓_mB = А/В, A↑_mB = А*В.

Наконец, введем еще одну Онтологию («экспоненциальную»), с ектором 5_е

как операцией ⊗, где e^x⊗ e^y= e^x*y. Здесь еꢀобратным элементом А* для А будет

А* = е^(1/lnА)

.

Число е — нейтральный элемент ⊗.

A5_еB = A↓_е(B*) при B < е,

A↑_еB при B > е,

A↓_еB = A↑_еB при В = е.

Здесь A↓_еB = А ⊗ В*, A↑_еB = А ⊗ В.

Для степени А^Химеем:

А^Х= А ⊗ е^Х= А5_ее^Х.

Если Х > 1, то е^Х> е, и А^Х= A↑_ее^Х. Если же Х < 1, то е^Х< е, и А^Х= A↓_е((е^Х)*).

Поскольку (е^Х)* = е^{(1/ln(exp(X)))}= е^(1/Х)

.

Посмотрим теперь с точки зрения описанных Онтологий на среднее геометꢀ

рическое:

A = (Pⁿ_i=1A_i)^1/n

.

Пусть Пⁿ_i=1A_i= 5ⁿ_mA_i, где 5ⁿ_mназовем mꢀполиектором. В общем случае обоꢀ

значим через 5ⁿ_i=1полиектор, гдⁱе⁼¹

i=1

5ⁿ_i=1A_i= А₁5А₂5…5A_n.

Имеем: A_i= A*(A_i*(A^–1)) = A5_m(A_i5_m(A^–1)). Отсюда получаем для среднего

геометрического:

≡

91

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

A = (Пⁿ_i=1A_i)^1/n= (5ⁿ_mA5_m(A_i5_m(A^–1))↓_ее^1/n

.

i=1

Поскольку

5ⁿ_mA5_m(A_i5_m(A^–1) = Aⁿ5_m(5ⁿ_m(A_i5_m(A^–1)) = (A↑_eeⁿ)5_m(5ⁿ_m(A_i5_m(A^–1)),

i=1

то отсюда:

i=1

A = (Пⁿ_i=1A_i)^1/n= [(A↑_eeⁿ)5_m(5ⁿ_m(A_i5_m(A^–1))]↓_ее^1/n

.

i=1

Отсюда получаем, что

5_m(5ⁿ_m(A_i5_m(A^–1)) = 1,

i=1

и среднее геометрическое может быть представлено таким образом:

A = (Пⁿ_i=1A_i)^1/n= (A↑_eeⁿ)↓_ее^1/n

.

Поскольку ↑_eeⁿ= i^е_en— экспоненциальный интеграл, ↓_ее^1/n= d^е_е1/n— экспоꢀ

ненциальный дифференциал, то в итоге получим:

A = (Пⁿ_i=1A_i)^1/n= d^е_е1/nо i^е_en(А),

т. е. d^е_е1/nо i^е_en= I — тождественное преобразование.

Таким образом, среднее геометрическое может быть представлено как эксꢀ

поненциальный интегродифференциал.

Аналогично может быть представлено и среднее арифметическое.

A = 1/n(Σⁿ_i=1A_i) = d^m_1/nо i^m_n(А).

Посмотрим, наконец, с этой точки зрения на понятие энтропии, вернее на ее

экспоненту е^Н, где

е^Н= (Пⁿ_i=1(1/p_i)^pi).

Если представить е^Нкак среднее геометрическое, то получим:

е^Н= (Пⁿ_i=1(1/p_i)^npⁱ)^1/n= d^е_е1/nо i^е_en(е^Н).

Здесь (1/p_i)^np= A_i= е^Н*(A*(е^–Н)) = е^Н5_m(A_i5_m(е^–Н)).

i

Возможно и такое представление экспоненты энтропии:

p_i

n

p_i

n

p_i

n

е^Н= Пⁿ_i=1(1/p_i) = 5_m(1/p_i) = 5_m(1↑_m(p_i^–1))↓_ee = 5_md^е_e^pо i^m_p^–1(1).

i

i=1

i

Поскольку (1/p_i)^pⁱ∈ [1, n^1/n], т. е. (1/p_i)^pⁱ≥ 1, то можем записать:

е^Н= ↑ⁿ_md^е_e^pо i^m_p^–1(1) — полисюръектор интегродифференциалов единицы.

i

i=1

i

§ 6. Двуполюсное количество

Ниже я предполагаю рассмотреть одно расширение вещественных чисел — неꢀ

которое множество πR (от греческого «плерома» — полнота, т. е. πR — пополꢀ

нение множества вещественных чисел), элементы которого я буду называть

≡

92

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

тетрадами и обозначать как четверки вещественных чисел (х, у, х′, у′). Но

прежде — несколько слов о той идее, которая привела меня к построению этих

объектов ¹.

Неоднократно я задумывался над проблемой соотношения и синтеза логики

и математики. Что собственно различает или сближает те фундаментальные

структуры, которые лежат в основании этих разделов научного познания?

В первом приближении можно сказать, что в основании математики лежат чисꢀ

ла, например натуральные и вещественные числа, а в основании логики —

смыслы, например суждения в исчислении высказываний. Итак — числа и смысꢀ

лы. Но что собственно различает эти два состояния бытия? Причем ответ на

этот вопрос меня интересовал не только в философском, но и в чисто операциоꢀ

нальном плане, с точки зрения некоторой синтетической структуры, в рамках

которой возможно было бы подойти к объединению числовых и смысловых

структур. Идея множества πR и возникла как одно из возможных решений этой

проблемы. Теперь я хотел бы кратко описать ту конкретную конструкцию, коꢀ

торая заложена в это множество и могла бы послужить сближению числовых

и смысловых определенностей.

Мне представляется, что одна из наиболее фундаментальных особенностей

смысловых структур, например булевых алгебр, это наличие операции отрицаꢀ

ния. Именно такого рода операция отсутствует при использовании чисел. Но

что такого заключено в этой операции, что делает ее столь специфичной именꢀ

но для логических структур? Для примера мы могли бы представить операцию

отрицания как взятие дополнительной области на плоскости по отношению

к некоторой области Х. Если Х есть, например, круг, то ⎤Х — это внешнее проꢀ

странство круга (см. рис. 30).

⎤

X

Рис. 30. Геометрическая интерпретация отрицания на плоскости

Переходя к линии, получим, что, если Х представить некоторым отрезком,

отложенным от ноля, то ⎤Х следует в этом случае изобразить как оставшуюся

часть линии, уходящую в бесконечность (см. рис. 31).

Более того, можно предположить, что если началом для «логически полоꢀ

жительных» чисел (Х) является в этом случае ноль, то «логически негативные»

1

Впервые идея двуполюсного количества была представлена мной в математическом сборниꢀ

ке: Моисеев В. И. Об одном расширении вещественных чисел // Труды конференции «Совреꢀ

менные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений». Воронеж.

30 июня — 4 июля 2003 г. Воронеж: Типография ВГУ, 2003. С. 172—182.

≡

93

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

0

X

⎤

X

Рис. 31. Геометрическая интерпретация отрицания на прямой

числа (⎤Х) отсчитываются как бы от противоположного полюса количества —

от бесконечности.

Вот это предположение и привело меня к идее рассмотреть числа, которые

отсчитываются не от ноля, но от бесконечности. Это род количества, растущий

как бы в противоположном направлении — его рост выражается с нашей точки

зрения в уменьшении. Бесконечность играет там роль ноля, а возрастание —

как удаление от своего ноля — для нас предстанет как приближение к нашему

нолю, т. е. как уменьшение. Следовательно, такое количество, растущее от бесꢀ

конечности, должно будет определяться и некоторыми перевернутыми операꢀ

циями, в которых ноль будет играть роль, аналогичную роли бесконечности,

а бесконечность — роли ноля. Можно предположить, что именно такого рода

«перевернутое количество» могло бы выражать идею отрицания для «прямого

количества» и именно наличием такого рода мер отличается логика от матемаꢀ

тики. После таких довольно туманных рассуждений я перейду к их более строꢀ

гому разъяснению.

Ограничимся пока положительной частью вещественной оси. Предполоꢀ

жим, что на этой оси можно изображать меры двух видов. Например, через чисꢀ

ло 5 можно изобразить:

1) отрезок вещественной оси, начинающийся в нуле и заканчивающийся

в точке 5. Такую меру, откладываемую от ноля, я буду обозначать через х₀.

2) с другой стороны, через число 5 можно изобразить полуотрезок вещеꢀ

ственной оси, начинающийся в бесконечности и заканчивающийся в числе 5.

Такого рода меры я буду обозначать через х_∞.

Итак, одно и то же число, например 5, может быть и символом меры 5₀

и меры 5_∞. Теперь мы могли бы легко ввести операцию отрицания ⎤ для таких

мер: отрицанием 5₀будет 5_∞, и наоборот. Теперь, если бы мы захотели опредеꢀ

лить ту или иную единую структуру на числах обоих типов, отсчитываемых как

от ноля, так и от бесконечности, то мы бы вскоре пришли к выводу, что в этом

случае начнут возникать смешанные объекты. Например, если бы у нас было

чтоꢀто вроде операции сложения + на таких мерах, то что в этом случае означаꢀ

ла бы сумма (5₀+ 7_∞)? Как представляется, одним из наиболее простых решеꢀ

ний здесь была бы возможность рассмотрения пар (х₀, у_∞), при отождествлении

меры х₀с парой (х₀, ∞), а меры у_∞— с парой (0, у_∞). Поскольку тип числа в паре

уже вполне определен его местом, то далее можно опускать нижние индексы 0

и ∞, используя просто обозначение пары (х, у) неотрицательных вещественных

чисел. Действие операции отрицания на пару (х, у) выразится теперь просто

в обмене координатами — первая координата станет второй, вторая — первой.

Таким образом, получим:

≡

94

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

⎤(х, у) = (у, х).

Но проблемы еще только начинаются.

Даже если мы введем пары, то как определить другие операции? Вполне есꢀ

тественно хотелось бы иметь в этом случае некоторые операции, которые обобꢀ

щают обычные операции на вещественных числах и согласованы со смыслом

«перевернутых мер» у_∞. Коль скоро мы вводим пары, то можно операции на паꢀ

рах определять и покоординатно — как пары операций для каждой координаꢀ

ты. Простейшая операция такого рода — сложение. Ясно, как ее определить для

первых координат. А вот что делать со вторыми координатами? Здесь должно

работать какоеꢀто перевернутое сложение, в котором ноль играет роль бескоꢀ

нечности и наоборот. Поскольку я очень сжато описываю примерную логику

моих рассуждений, то я не буду утомлять читателя излишними подробностями

и сразу предъявлю такую операцию, хотя для меня, конечно, каждый из предꢀ

лагаемых здесь шагов мог представлять проблему, потребовавшую для своего

разрешения определенного времени. Итак, рассмотрим операцию

х +* у = ((х)^–1+ (у)^–1)^–1.

Здесь получим:

0 +* у = ((0)^–1+ (у)^–1)^–1= (∞ + (у)^–1)^–1= (∞)^–1= 0 — ноль ведет себя как бесꢀ

конечность, поглощая число у,

∞ +* у = ((∞)^–1+ (у)^–1)^–1= (0 + (у)^–1)^–1= ((у)^–1)^–1= у — бесконечность ведет

себя как ноль, поглощаясь числом у.

Следовательно, эта операция удовлетворяет нашей интуиции, и можно поꢀ

пытаться использовать ее для определения сложения на вторых координатах

пар.

Теперь мы могли бы ввести сложение на парах в следующем виде:

(х, у) + (х′, у′) = (х + х′, у +* у′).

В таком стиле можно было бы продвигаться и дальше, но рано или поздно

перед нами возникнет новая проблема, связанная с отрицательными числами,

коль скоро мы хотим обобщить структуру на множество всех, а не только неꢀ

отрицательных, вещественных чисел.

Казалось бы, можно просто ввести отрицательные координаты в парах (х, у).

Однако потребность сделать пары не только математическими, но и логическиꢀ

ми объектами, несколько усложняет эту задачу.

Дело в том, что «двуполюсное количество», изображаемое парами (т. е. расꢀ

тущее от двух «полюсов» — ноля и бесконечности), призвано одновременно

выражать логические структуры. Например, на парах хотелось бы определить

не только математические, но и логические операции, как это было представлеꢀ

но выше для отрицания. Рассмотрим с этой точки зрения две такие пары:

(х, ∞) и (–х, ∞).

≡

95

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Если изобразить эти пары на числовой оси, то это будут отрезки величиной

|х|, отложенные в противоположные стороны от ноля. Отрицательные числа

выражаются, как известно, в числовых отрезках, откладываемых от ноля влево.

Получается, что с введением отрицательных чисел у нас возникнет два вида отꢀ

резков, откладываемых от ноля — вправо и влево. В то же время в логике есть,

например, такая операция, как объединение (дизъюнкция, логическая сумма).

Вполне естественно в этом случае под объединением таких двух отрезков пониꢀ

мать суммарный отрезок, начинающийся от левого конца левого отрезка и заꢀ

канчивающийся в правом конце правого отрезка (см. рис. 32).

–2

0

3

Рис. 32. Объединение двух 0ꢀчисел

Но это означает, что необходимо отрицательные числа рассматривать как

объекты, независимые от положительных чисел, способные быть представленꢀ

ными одновременно с положительными числами. Такое требование заставляет

нас удвоить пару до четверки, отводя два новых места для отрицательных мер,

отложенных от ноля, и отрицательных мер, отложенных от бесконечности (по

поводу понимания последних существует полная симметрия с положительныꢀ

ми мерами, отложенными от бесконечности).

Теперь под четверкой (х, у, х′, у′) я буду понимать две сдвоенные пары (х, у)

и (х′, у′), где первая пара выражает неотрицательные меры, а вторая — неполоꢀ

жительные меры, отложенные от ноля и от бесконечности. Поскольку место

каждой координаты вполне указывает на ее статус, то для краткости можно

было бы все четыре координаты рассматривать как величины неотрицательꢀ

ные. Например, четверка (2, 3, 7, 1) будет означать в этом случае четыре меры

{+2₀, +3_∞, –7₀, –1_∞}, которые можно изобразить на оси вещественности в следуꢀ

ющем виде (см. рис. 33).

–7

–1

0

2

3

Рис. 33. Изображение тетрады

Так мы приходим к идее тетрад как некоторых более сложных мер, чем веꢀ

щественные числа. В частности, тетрады представляют собой состояние колиꢀ

чества, способное расти из полюсов ноля и бесконечности в положительном

и отрицательном направлениях. Два полюса и два направления заставляют нас

в общем случае ввести четыре координаты для такого рода новых объектов.

≡

96

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Наконец, введем возможность отрицательных координат в тетраде в следуꢀ

ющем смысле. Первую и третью, вторую и четвертую координаты я буду назыꢀ

вать однополярными координатами, так как они выражают меры, откладываꢀ

емые от одного полюса (от ноля или от бесконечности). Знак минус в той или

иной координате можно интерпретировать как символ переноса модуля этой

координаты в другую однополярную координату. В самом деле, если тетрада

(х, у, х′, у′) c неотрицательными координатами соответствует множеству мер

{+х₀, +у_∞, –х′₀, –у′_∞}, то смена знака внутри тетрады у какойꢀлибо координаты,

например переход к тетраде (–х, у, х′, у′), даст, согласно интерпретации, множеꢀ

ство мер {ꢀх₀, +у_∞, –х′₀, –у′_∞} или {0₀, +у_∞, –(х + х′)₀, –у′_∞}, т. е. тетраду (0, у,

х + х′, у′), где вновь все координаты будут неотрицательными.

Однако в этом случае речь будет идти лишь о некоторой эквивалентности на

тетрадах, но не о равенстве. Под равенством тетрад, как обычно, я буду пониꢀ

мать их покоординатное равенство.

Далее я позволю себе перейти к более формальному представлению структуꢀ

ры на тетрадах, но читатель поꢀпрежнему может пользоваться рассмотренной

выше интуицией этого типа объектов.

Для операции «обратного сложения» +* можно доказать те же свойства абеꢀ

левой группы, что и для обычного сложения:

х +* у = у +* х — коммутативность;

х +* (у +* z) = (х +* у) +* z — ассоциативность;

∞ +* х = х — наличие нейтрального элемента;

х +* (ꢀх) = ∞ — наличие противоположного элемента.

Также верна дистрибутивность:

х · (у +* z) = x · y +* x · z.

Определим на тетрадах равенство: (х, у, х′, у′) = (z, t, z′, t′) если только если

(если только если) x = z и y = t и x′ = z′ и y′ = t′.

Для тетрады (х, у, х′, у′) введем новую тетраду pos(х, у, х′, у′) = (a, b, a′, b′) —

позитив тетрады (х, у, х′, у′), по правилу:

′

x

если x ≥ 0 и x ≥ 0,

x

если x ≥ 0 и x ≥ 0,

⎧

⎪

⎨

⎪

⎨

′

x + x

если x ≥ 0 и x ≤ 0,

x + x если x ≥ 0 и x ≤ 0,

′

a =

′

0

x

если x ≤ 0 и x ≥ 0,

0

x

если x ≤ 0 и x ≥ 0,

⎪

′

если x ≤ 0 и x ≤ 0.

⎩

′

y

если y ≥ 0 и y ≥ 0,

y

если y ≥ 0 и y ≥ 0,

⎧

⎪

⎨

⎪

⎨

′

y + * y

если y ≥ 0 и y ≤ 0,

y + *y если y ≥ 0 и y ≤ 0,

′

b =

′

∞

если y ≤ 0 и y ≥ 0,

∞

если y ≤ 0 и y ≥ 0,

⎪

′

y

если y ≤ 0 и y ≤ 0.

y

если y ≤ 0 и y ≤ 0.

⎩

≡

97

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Две тетрады назовем позитивно эквивалентными если только если будут

равны их позитивы.

Определим на тетрадах отношение порядка по следующему правилу:

(х, у, х′, у′) ≤ (z, t, z′, t′) если только если x ≤ z и y ≤* t и x′ ≤ z′ и y′ ≤* t′,

где a ≤* b — отношение сопряженного («перевернутого») порядка, определенꢀ

ное по правилу

a ≥ b, если a и b одного знака,

⎧

⎨

⎩

a ≤* b если только если

a ≤ b, если a и b разных знаков.

На множестве тетрад введем следующие операции.

1. Математические операции.

1.1. Смена знака: –(х, у, х′, у′) = (–х, –у, –х′, –у′).

1.2. Сложение: (х, у, х′, у′) + (z, t, z′, t′) = (x + z, y +* t, x′ + z′, y′ +* t′).

1.3. Умножение: (х, у, х′, у′) · (z, t, z′, t′) = (xz + x′z′, yt +* y′t′, xz′ + zx′, yt′ +* ty′).

1.4. Обратный элемент: (х, у, х′, у′)^–1= (z, t, z′, t′), где

z = x/(x²– x′²), t = y/(y²–* y′²), z′ = –(x′/(x²– x′²)), t = –(y′/(y²–* y′²)).

Пусть max{x, y} = (x, y)⁺, min{x, y} = (x, y)^–.

2. Логические операции (для тетрад с неотрицательными координатами).

2.1. Отрицание: ⎤(х, у, х′, у′) = (у, х, у′, х′).

2.2. Дизъюнкция: (х, у, х′, у′) ∨ (z, t, z′, t′) = ((x, z)⁺, (y, t)^–, (x′, z′)⁺, (y′, t′)^ꢀ).

Теперь могут быть доказаны, например, следующие теоремы.

Теорема 1

Сложение образует абелеву группу на множестве πR.

Доказательство в этом случае достаточно очевидное, учитывая «хорошие»

свойства операции обратного сложения. Замечу, что в качестве ноля в сложеꢀ

нии на тетрадах выступает тетрада (0, ∞, 0, ∞). Далее я буду обозначать ее симꢀ

волом 0₄. В качестве противоположного элемента для тетрады α выступает тетꢀ

рада –α.

Теорема 2

Умножение образует абелеву группу на множестве πR.

Доказательство и в этом случае не представляет особых сложностей, и треꢀ

буется лишь быть аккуратным в преобразованиях и использовании определеꢀ

ний. В качестве единицы выступает тетрада (1, ∞, 0, ∞), которую я буду обознаꢀ

чать через 1₄. Нельзя делить на 0₄, так как это приведет к неопределенности.

Наконец, обратным элементом для тетрады α выступает тетрада α^–1.

≡

98

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Теорема 3

Для любых тетрад α, β и γ верно свойство дистрибутивности:

α(β + γ) = αβ + αγ.

Теорема 4

Отношение α ≤ β обладает свойствами рефлексивности,

антисимметричности и транзитивности на множестве πR,

т. е. является отношением нестрогого порядка.

Как обычно, можно определить строгий порядок в следующем виде:

α < β если только если α ≤ β и не верно, что α = β.

Однако множество πR не является линейно упорядоченным, и существуют

несравнимые тетрады. В то же время определены минимальная –∞₄= (–∞, –0,

–∞, –0) и максимальная +∞₄= (+∞, +0, +∞, +0) тетрады.

Легко показать, что множество πR является архимедовым, т. е. для любой

тетрады α, где α < +∞₄, найдется такая тетрада β < +∞₄, что α < β.

Так же множество πR является полным в следующем смысле. Если через πQ

обозначить множество тетрад с рациональными координатами и говорить, что

последовательность тетрад {α_n}^∞_n=1из πQ является фундаментальной в том смысꢀ

ле, что каждая из последовательностей {(α_n)_k}^∞_n=1является фундаментальной,

где (α_n)_k— kꢀая координата тетрады α_n(k = 1, 2, 3, 4), то можно легко показать,

что каждая фундаментальная последовательность {α_n}^∞_n=1имеет предел _n→∞α_n,

lim

если

(α_n)_k= _n→∞((α_n)_k). Замечу, что предел на последовательностях втоꢀ

рых иⁿч^→е^∞твертых координат определен в обычном смысле, в том числе с распроꢀ

странением идеи предела на бесконечность.

Множество πR замечательно тем, что на нем можно одновременно строить

математические и логические структуры. Ниже я попытаюсь показать некотоꢀ

рые примеры таких структур.

На множестве πR в обычном смысле можно определить функции — как отоꢀ

бражения f : A → πR, где А ⊆ πR.

Пусть f — вещественная функция, и f : X → R, где Х ⊆ R. Для f можно опредеꢀ

лить функцию f* по правилу: f*(x) = (f(x^–1))^–1. Если 0 содержится во множестве

Х, то f* определена на множестве Х* = (Х ∪ {∞})\{0}.

Теперь для функции f можно ввести функцию πf : A → πR, где (x, y, x′, y′) ∈ A

если только если x, x′ ∈ X, y, y′ ∈ X*, и

πf(x, y, x′, y′) = (f(x), f*(y), f(x′), f*(y′)).

Для функции πf: A → πR можно определить предел в точке α ∈ А по следуꢀ

ющему правилу:

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

lim

[(∆α)→0

[(πf)(α + ∆α)]

=

li_→m₍₀

[(πf)(α + ∆α)]_k,

]

[(∆α)

)

k

4

k

где, как и прежде, (β)_k— kꢀая координата тетрады β, и k = 1, 2, 3, 4.

99

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Пусть Inv — оператор мультипликативной инверсии, где Inv(x) = x^–1. Тогда

имеем: f*(x) = [Inv o f o Inv](x), где o — операция композиции функций. Аналоꢀ

гично определим обратную производную (D_Inv) и обратную первообразную (I_Inv

)

функции f*:

D_Inv[f* (x)] = [Inv o Df o Inv](x), где Df — производная функции f,

I_Inv[f* (x)] = [Inv o If o Inv](x), где If — неопределенный интеграл f.

Определим функции πDf и πIf для функции πf: A → πR по следующим правиꢀ

лам:

πDf(x, y, x′, y′) = (Df(x), D_Invf*(y), Df(x′), D_Invf*(y′)),

πIf(x, y, x′, y′) = (If(x), I_Invf*(y), If(x′), I_Invf*(y′)).

Функцию πDf можно рассматривать как производную функции πf, а функꢀ

цию πIf — как первообразную функции πf. Во всех этих случаях предполагаетꢀ

ся, что выражения вида Df(x), D_Invf*(y) или If(x), I_Invf*(y) имеют смысл и опреꢀ

делены для вещественной функции f и точек х, у.

Пусть даны две тетрады α = (x, y, x′, y′) и β = (z, t, z′, t′). Обозначим α через

β^σρ, где σ ∈ [0, 1], ρ ∈ [1, ∞], если только если

x = σz + (1 – σ)z′,

y = ρt +* (1 –* ρ)t′,

x′ = σz′ + (1 – σ)z,

y′ = ρt′ +* (1 –* ρ)t.

Отсюда, в частности, получим, что β = β¹¹.

Если дана функция πf: A → πR, то через (πf)^σρобозначим функцию g:

A → πR, где g(α) = (πf(α))^σρдля каждого α ∈ А.

Определим для функции πf: A → πR понятие (σρ, λε)ꢀпроизводной, πD^σρ_λεf,

в точке α ∈ А, где σ ∈ [0, 1], ρ ∈ [1, ∞], λ ∈ [0, 1], ε ∈ [1, ∞].

(πf)^σρ(α + (∆α)^λε)−(πf)^σρ(α)

⎡

⎢

⎤

⎥

σρ

πD f(α)=

lim

.

λε

(∆α)^λε

λε

[(∆α) →(0 )]

⎢

⎣

⎥

⎦

4

Параметры σ и ρ определяют в этом случае функцию (πf)^σρ, которая образоꢀ

вана как (σ, ρ)ꢀсуперпозиция относительно функции πf. Аналогично параметры

λ и ε определяют приращение (∆α)^λε, образованное как (λ, ε)ꢀсуперпозиция отꢀ

носительно некоторого приращения ∆α = (∆х, ∆у, ∆x′, ∆y′). Таким образом, (σρ,

λε)ꢀпроизводная функции πf — это производная функции (πf)^σρпо приращению

(∆α)^λε.

Здесь может быть доказана следующая теорема.

Теорема 5

πD^σρf(α) = (πDf)^νµ(α),

λε

≡

100

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

где

ν = σχ + (1 – σ)(1 – χ),

µ = ρω +* (1 –* ρ)(1 –* ω),

2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

′

(∆x ⋅ λ + ∆x ⋅(1 − λ))

χ = _∆l_xi_→m₀

,

2

′

(∆x ⋅ λ + ∆x ⋅(1 − λ)) −(∆x ⋅λ + ∆x ⋅(1 − λ))

′

∆x →0

2

⎛

⎞

⎟

⎠

′

(∆y ⋅ ε +* ∆y ⋅(1 −* ε))

⎜

ω = _∆yli_→m_∞

,

2

⎜

′

∆y ⋅ ε +* ∆y ⋅(1 −* ε)) −*(∆y ⋅ε +* ∆y ⋅(1 −* ε))

⎝

′

∆y →∞

∆α = (∆х, ∆у, ∆x′, ∆y′).

В частности, если σ = ρ = λ = ε = 1 и ∆α = (∆х, ∆у, 0, ∞), то χ = ω = 1,

11

и πD f(α) = πDf(α). Таким образом, понятие (σρ, λε)ꢀпроизводной обобщает

понятие производной πDf функции πf.

Например, если ln*(x) = (ln((x)^–1))^–1, то

11

πD ln(α) = πD^νµln(α),

11

где

ν = χ,

µ = ω,

∆x²

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

χ = _∆l_xi_→m₀

,

2

′

∆x − ∆x

′

∆x →0

∆y²

⎛

⎞

⎜

⎝

⎟

⎠

ω = _∆yli_→m_∞

,

2

′

∆y −* ∆y

′

∆y →∞

при ∆α = (∆х, ∆у, ∆x′, ∆y′).

В частности, если ∆α = (∆х, ∆у, 0, ∞), то χ = ω = 1 и

11

πD ln(α) = πDln(α).

11

При α = (x, y, x′, y′) получим:

πDln(α) = (Dln(x), D_Invln*(y), Dln(x′), D_Invln*(y′)) = (x^–1, y^–1, (x′)^–1, (y′)^–1).

Определив производную, теперь можно ввести представление о (νµ, λε)ꢀперꢀ

νµ

λε

вообразной, πI f, функции πf.

Пусть If — первообразная вещественной функции f. Тогда, используя поняꢀ

тие (σρ, λε)ꢀпроизводной и решая обратную задачу, можно найти, что:

πI^νµf(α) = (πIf)^σρ(α),

λε

где

σ = (ν + χ – 1)/(2χ – 1),

≡

101

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

ρ = (µ +* ω –* 1)/(0,5ω –* 1),

χ и ω определены так же, как и выше.

Как и в случае с производной, параметры ν и µ определяют и в этом случае

интегрируемую функцию (πf)^νµ, которая образована как (ν, µ)ꢀсуперпозиция

относительно функции πf. Аналогично, параметры λ и ε определяют приращеꢀ

ние (∆α)^λε, образованное как (λ, ε)ꢀсуперпозиция относительно некоторого

приращения ∆α = (∆х, ∆у, ∆x′, ∆y′). Таким образом, (νµ, λε)ꢀпервообразная

функции πf — это первообразная функции (πf)^νµпо приращению (∆α)^λε.

На этой основе можно пытаться развивать анализ на множестве πR.

Теперь я столь же кратко коснусь ряда определений логических структур на

множестве πR.

Через πR⁺я буду далее обозначать множество тетрад с неотрицательными

координатами (это тетрады, совпадающие со своими позитивами). На этом

множестве введем подмножество ↓πR⁺(с) сꢀпокрывающих тетрад, где с — полоꢀ

жительное вещественное число, — как такое множество тетрад α = (x, y, x′, y′)

из πR⁺, где x > c > y и x′ > c > y′. С другой стороны, через ⎤πR⁺(с) обозначим мноꢀ

жество тетрад a = (x, y, x′, y′) из πR⁺, где x < c < y и x′ < c < y′ (такие тетрады

можно называть сꢀнепокрывающими). Наконец, назовем множеством сꢀполяриꢀ

зованных тетрад объединение ↓πR⁺(с) ∪ ⎤πR⁺(с) = πR⁺(с) множеств сꢀпокрываꢀ

ющих и сꢀнепокрывающих тетрад.

Определим на тетрадах из πR⁺операции конъюнкции, импликации и логичесꢀ

кого равенства:

(α ∧ β) = ⎤((⎤α) ∨ (⎤β)),

(α ⊃ β) = (⎤α) ∨ β,

(α ≡ β) = (α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α).

Здесь могут быть доказаны, например, следующие теоремы.

Теорема 6

Если α ∈ πR⁺(с), то ⎤α ∈ πR⁺(с).

Теорема 7

Если α ∈ πR⁺(с) и β ∈ πR⁺(с), то α ∨ β ∈ πR⁺(с).

Таким образом, множество сꢀполяризованных тетрад замкнуто относительꢀ

но операций отрицания и дизъюнкции, а следовательно — относительно всех

логических операций, которые могут быть определены в исчислении высказыꢀ

ваний. Например, легко показать непосредственным вычислением, что конъꢀ

юнкция определена в виде:

(х, у, х′, у′) ∧ (z, t, z′, t′) = ((x, z)^–, (y, t)⁺, (x′, z′)^–, (y′, t′)⁺).

Могут быть доказаны также следующие теоремы:

≡

102

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 4. Онтология числа

≡

Теорема 8

Если α ∈ πR⁺(с), то (⎤α) ∨ α ∈ ↓πR⁺(с).

Если α ∈ πR⁺(с), то (⎤α) ∧ α ∈ ⎤πR⁺(с).

Теорема 9

Теорема 10

Теорема 11

Теорема 12

Теорема 13

Теорема 14

Теорема 15

Если α ∈ ↓πR⁺(с) и β ∈ ↓πR⁺(с), то α ∧ β ∈ ↓πR⁺(с).

Если α ∈ ↓πR⁺(с) и β ∈ ↓πR⁺(с), то α ∨ β ∈ ↓πR⁺(с).

Если α ∈ ↓πR⁺(с) и (α ⊃ β) ∈ ↓πR⁺(с), то β ∈ ↓πR⁺(с).

α ∈ ↓πR⁺(с) если только если ⎤α ∈ ⎤πR⁺(с).

Если α ∈ ⎤πR⁺(с) и β ∈ ⎤πR⁺(с), то α ∨ β ∈ ⎤πR⁺(с).

Если α ∈ ⎤πR⁺(с), то α ∧ β ∈ ⎤πR⁺(с).

В общем случае можно доказать исчисление высказываний на множестве

сꢀпокрывающих тетрад, т. е. на множестве ↓πR⁺(с). В этом случае множество

сꢀпокрывающих тетрад будет играть роль множества истинных формул, а мноꢀ

жество сꢀнепокрывающих тетрад предстанет как множество ложных формул.

Более строго это можно доказать, взяв некоторую систему аксиом исчисления

высказываний и правила логического вывода и показав выполнение этого лоꢀ

гического базиса на множестве сꢀпокрывающих тетрад.

Ниже я использовал систему аксиом исчисления высказываний из книги

Э. Мендельсона «Введение в математическую логику» ¹. Это следующие схемы

аксиом:

(А1)

(А2)

(А3)

α ⊃ (β ⊃ α),

(α ⊃ (β ⊃ γ)) ⊃ ((α ⊃ β) ⊃ (α ⊃ γ)),

(⎤β ⊃ ⎤α) ⊃ ((⎤β ⊃ α) ⊃ b).

В этой системе используется также одно правило логического вывода — это

правило отделения (modus ponens). Выполнение этого правила подтверждается

теоремой 12.

Итак, могут быть доказаны следующие теоремы.

1

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976. С. 38.

≡

103

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Теорема 16

Если α ∈ πR⁺(с) и β ∈ πR⁺(с), то (α ⊃ (β ⊃ α)) ∈ ↓πR⁺(с).

Теорема 17

Если α ∈ πR⁺(с) и β ∈ πR⁺(с), то (α ⊃ (β ⊃ g)) ⊃ ((α ⊃ β) ⊃ (α ⊃ g)) ∈ ↓πR⁺(с).

Теорема 18

Если α ∈ πR⁺(с) и β ∈ πR⁺(с), то (⎤β ⊃ ⎤α) ⊃ ((⎤β ⊃ α) ⊃ β) ∈ ↓πR⁺(с).

В дальнейшем, используя структуру πR, можно было бы развить исчисление

предикатов на множестве тех или иных элементов. Предикаты в этом случае

можно было бы определить как функции P(a), которые каждому элементу α

ставят в соответствие либо элемент из ↓πR⁺(с) («истину»), либо элемент из

⎤πR⁺(с) («ложь»). Кванторы можно определить как конъюнкции (квантор всеꢀ

общности) или дизъюнкции (квантор существования) по всем элементам из неꢀ

которого множества:

∀(α ∈ M) P(α) =_Df

∧

_{α ∈ M}P(α),

∃(α ∈ M) P(α) =_Df

∨

_{α ∈ M}P(α).

В том числе возможен случай, когда в качестве элементов такого исчисления

предикатов выступят сами тетрады. Правда, в этом случае, наряду с тетрадами,

нужно будет ввести переменные по тетрадам. Например, переменную a по тетꢀ

радам нужно будет рассматривать как новый объект, который может использоꢀ

ваться в операциях с отдельными тетрадами. В этом случае операции над тетраꢀ

дами нужно будет дополнить операцией подстановки со всеми обычными

свойствами, которые излагаются в исчислении предикатов. Тогда структура на

πR будет соединять в себе как структуру поля, так и структуру исчисления преꢀ

дикатов.

Как мне представляется, уже эти примеры показывают, что во множестве πR

мы имеем дело с некоторой своеобразной структурой, способной послужить

основанием для создания синтетической математики, в которой можно было

бы надеяться на преодоление декартовского дуализма чисел и смыслов. Конечꢀ

но, представленные выше примеры — это скорее ряд зарисовок, ни в коей мере

не претендующих на полноту описания структуры πR. Несомненно, эта структуꢀ

ра требует своего дальнейшего более планомерного и глубокого исследования.

Ряд некоторых развитий этой структуры читатель сможет найти в последующем

изложении.

Г л а в а

5

Векторные ментальные многообразия

Пусть V — линейное (векторное) пространство над полем F. Элементами этого

пространства являются объекты, которые обычно называются «векторами»,

хотя это могут быть не только геометрические вектора. Полем называется

структура, для которой выполнены аксиомы вещественных чисел. Из поля беꢀ

рутся те объекты, на которые можно домножать элементы V. В простейшем

случае V — это некоторое конечномерное евклидово пространство над полем

вещественных чисел R.

На линейном пространстве могут быть реализованы различные ментальные

многообразия. Ниже я попытаюсь рассмотреть несколько видов таких векторꢀ

ных ментальных многообразий.

§ 1. Ментальное многообразие с векторным проецированием

Первая проблема, которая возникает в связи с построением векторных ментальꢀ

ных многообразий, — это проблема порядка. Как и всегда, построение ментальꢀ

ного многообразия следует начинать с поиска некоторого отношения нестрогого

порядка, которое можно в дальнейшем представить как проективноꢀмодальное

отношение, по крайней мере в рамках подходящих вырожденных Онтологий.

В случае векторных пространств эта проблема не кажется простой, поскольку

на векторах в общем случае не определено естественное отношение порядка.

В то же время я давно пользовался для иллюстрации идей ментального многоꢀ

образия образом геометрических проекций. Поэтому интересно было бы в перꢀ

вую очередь проверить, можно ли построить векторные ментальные многообꢀ

разия, в которых образование мод будет связано с образованием векторных

проекций. В первую очередь, поꢀвидимому, речь должна идти о простейшем

случае образования проекции одного вектора на другом векторе. Рассмотрим

этот случай более подробно.

Пусть х и у — два элемента линейного пространства V, т. е. два вектора. Что

такое в общем случае проекция вектора х на вектор у? Предположим, что на

≡

105

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

векторном пространстве V задано скалярное произведение, которое, как обычно,

можно обозначать символом (х, у). В этом случае можно определить норму ||x||

вектора х по правилу ||x|| = (х, х)^1/2. Обозначим для вектора у через е_у= у/||у||

вектор единичной длины того же направления, что у. В качестве проекции

pr_y(x) вектора х на вектор у теперь можно рассмотреть вектор (е_у, х)е_у. Испольꢀ

зуя оператор Р(x, y)z = (y, z)x, который представляет собой оператор векторноꢀ

го проецирования («векторный проектор»), можно проекцию pr_y(x) вектора х

на вектор у выразить следующим образом:

(VP)

pr_y(x) = P(e_y, e_y)x = (е_у, х)е_у.

Итак, проекция вектора х на вектор у есть новый вектор, который является

нулевым, соꢀ или противонаправленным вектору у, в зависимости от знака скаꢀ

лярного произведения (е_у, х). Длина этого вектора равна модулю скалярного

произведения (е_у, х).

В приведенных выше рассуждениях неявно предполагалось, что вектор у неꢀ

нулевой (в самом деле, это следует из выражения е_у= у/||у||). Если у — нулевой

вектор, то положим по определению, что е_у= у. В этом случае проекция любого

вектора на нулевой вектор будет нулевым вектором. Таким образом, получим:

(Ve)

е_у= у/||у||, если y ≠ 0,

е_у= у, если y = 0.

Если мы попытаемся построить ментальное многообразие на векторах, где

проекторы образуют моды из модусов, то нам понадобится и векторный сюръꢀ

ектор, т. е. некоторый оператор, действие которого будет противоположным

действию векторного проектора. Решая обратную задачу, можно в качестве

векторного сюръектора предложить следующий оператор:

S(e_y, e_y)x = ((x, x)/(e_y, x))e_y, если (e_y, x) ≠ 0.

Этот оператор, наоборот, «поднимает» вектор х до вектора у, который бы

дал проекцию на хꢀнаправление в качестве вектора х. Правда, в определении

предполагается, что скалярное произведение (e_y, x) не равно нолю. В случае,

если (e_y, x) = 0, положим по определению, что S(e_y, e_y)x = x. В целом, получим:

(VS)

S(e_y, e_y)x = ((x, x)/(e_y, x))e_y, если (e_y, x) ≠ 0,

S(e_y, e_y)x = x, если (e_y, x) = 0.

Замечу, что такой векторный сюръектор однозначен только в случае вещеꢀ

ственных линейных пространств. В случае линейного пространства над полем

комплексных чисел, получим соотношение:

S(e_y, e_y) o P(e_x, e_x)y = exp(i2z) y, где (e_x, e_y) = a exp(iz).

Наконец, согласуя идею векторного проектора и сюръектора с двуместноꢀ

стью соответствующих операторов в ментальном многообразии, введем следуꢀ

ющие определения:

≡

106

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 5. Векторные многообразия

≡

P(e_x)y =_DfP(e_x, e_x)y,

S(e_y)x =_DfS(e_y, e_y)x.

Так могут быть введены двуместный векторный проектор и сюръектор, один

из аргументов в которых играет роль параметра.

Зафиксируем некоторый полный набор векторов a₁, a₂, …, a_Nв векторном

пространстве V. В качестве векторных проекторов могут быть рассмотрены

операторы

n

P(e , a_k),

∑

k

i

i=1

где a_k, a_k, …, a_k— некоторый поднабор векторов из набора a₁, a₂, …, a_N,

1

2

и e_k= a_k/||a_k||. Таⁿкие операторы проецируют вектор на подпространство, натяꢀ

i

нутое наⁱвекторы a_k, a_k, …, a_k, а затем домножают эту проекцию на некоторое

1

2

n

число, делая свой результат вектором, пропорциональным векторной проекꢀ

ции. В связи с этим я буду называть такие операторы пропорциональными векꢀ

торными проекторами. В случае, если {a_i}^N_i=1— ортонормированный базис проꢀ

странства V, получаем обычное векторное проектирование, которое я буду

называть стандартным векторным проектированием, а соответствующие проꢀ

екторы стандартными векторными проекторами.

Имеем:

n

P(e , a_k)y =

P(a , y)e_k

=

y

e_k

,

∑

k

i

i=1

где y_k= (a_k, y).

i

На основе одноместного оператора P(a_k) =_DfP(e_k, a_k) мы можем формально

i

n

P(K)

определить следующий двуместный оператор

:

∑

i=1

n

i=1

[

P(K)]{a

}

=

P(e , a_k).

∑

k

Df

k

i

i=1

n

действует на последовательность векторов {a_k}ⁿ_i=1, образуя

P(K)

Оператор

∑

i

i=1

n

P(a

)

P(K)

я буду далее называть двуꢀ

∑

одноместный проектор

. Оператор

k

i

i=1

местным векторным проектором.

Теперь мы готовы к тому, чтобы построить некоторую Проективно Модальꢀ

ную Онтологию на векторах с фиксированным проектором и предикатом

Mod¹²³⁴⁷(проективной частью некоторой 7ꢀОнтологии). Будем использовать

для обозначения этой Онтологии спецификатор 1V{a_i}^N_i=1(как будет видно дальꢀ

ше, конструкции этой Онтологии существенно зависят от набора векторов

{a_i}^N_i=1, в связи с чем я выражаю зависимость Онтологии от этого набора введеꢀ

нием его в состав спецификатора). Предполагается, что в ней определены аксиꢀ

омы для линейного пространства V, скалярного произведения и аксиомы для

≡

107

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

поля вещественных чисел R, над которым строится пространство V. Также поꢀ

ложим, что есть аксиомы, определяющие последовательность {a_i}^N_i=1как полную

систему векторов пространства V.

В качестве первичного проективноꢀмодального предиката выступает следуꢀ

ющий предикат:

n

N

P(a )y

) ∧

∑

(D)

Mod(x, y, {a_k}_i=1, ↓_1V, 1V{a_i}_i=1) ≡ (x =

k

i

i=1

∧ ({a_k}ⁿ_i=1⊆_V{a_k}^N_k=1) ∧ (x, y ∈ V),

i

n

P(K)

где ↓_1V

=

,

∑

Df

i=1

({a_k}ⁿ_i=1⊆_V{a_k}^N_k=1) ≡ ∀i(((i = 1) ∨ … ∨ (i = n)) ⊃

i

⊃ ∃k∃c_i(((k = 1) ∨ … ∨ (k = N)) ∧ (a_ki= c_ia_k)).

Таким образом, согласно этому определению, вектор х объявляется

1V{a_i}^N_i=1ꢀмодой вектора у в рамках полной системы {a_k}^N_k=1, если только если х

есть векторная проекция у на некоторое подпространство, натянутое на {a_ki}ⁿ_i=1

.

Из определения (D) мы видим, что 1V{e_i}^N_i=1ꢀмоделями являются последоваꢀ

тельности {a_k}ⁿ_i=1полной системы {a_i}^N_i=1. Это, в частности, означает, что в языке

i

5↓_1V1V{a_i}^N_i=1ꢀОнтологии должны быть переменные по последовательностям

векторов или чисел, для которых имеет смысл отношение Н_V, как оно было

определено выше. Для выделения таких переменных можно использовать преꢀ

дикаты SVect — «быть системой векторов», и nTerm — «быть последовательноꢀ

стью из n термов». Далее я буду сокращать спецификатор 1V{a_i}^N_i=1через символ

«1V».

Ясно также, что в 1VꢀОнтологии должна присутствовать теорема

(nTerm)

(z ⊆_V{e_k}^N_k=1) ⊃ ∃n(nTerm(z)).

Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1

n

N

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ≡ ∃n∃z((x =

) ∧ nTerm(z) ∧ (z ⊆_V{a_k}_k=1) ∧ (x, y ∈ V)).

P(z)y

∑

i=1

n

P(z)y

P(K)(z, y)

».

∑

Через запись «

» я буду сокращать выражение «

i=1

Теорема 2

Mod¹⁷(x, 1V) ≡ (x ∈ V).

Теорема 3

Теорема 4

Mod²⁷(x, 1V) ≡ (x ∈ V).

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ≡ ((y = 0) ⊃ (x = 0)) ∧ (x, y ∈ V).

≡

108

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 5. Векторные многообразия

≡

Теорема 5

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ⊃ Mod²⁷(x, 1V).

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ⊃ Mod¹²⁷(y, y, 1V).

Теорема 6

Теорема 7

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ⊃ ∀z(Mod¹²⁷(y, z, 1V) ⊃ Mod¹²⁷(x, z, 1V)).

Доказательство (см. Приложение 17)

В доказательстве этой теоремы я не раз пользовался законом экстенсиоꢀ

нальности для векторного равенства =. Эти приемы оправданы следующими теꢀ

оремами.

Теорема 8

(x =^1V1₂₃y) ≡ ((x = 0) ≡ (y = 0)) ∧ (x, y ∈ V).

Теорема 9

(x =^1V2₁₃y) ≡ ((x = 0) ≡ (y = 0)) ∧ (x, y ∈ V).

Теорема 10

(x =^1V2₁y) ≡ ((x = 0) ≡ (y = 0)) ∧ (x, y ∈ V).

В этом случае для доказательства второй аксиомы 1VꢀОнтологии достаточꢀ

но доказать следующую теорему.

Теорема 10

n

Mod(x, y, {a_ki}ⁿ, ↓ , 1V) ≡ ((x = 0) ≡ (

= 0)) ∧

P(a )y

∑

ki

i=1 1V

i=1

∧ ∃xMod(x, y, {a_ki}ⁿ_i=1, ↓_1V, 1V) ∧ ∃yMod(x, y, {a_ki}ⁿ_i=1, ↓_1V, 1V).

Доказательство этой теоремы следует из определения (D) и теорем 8, 9.

Итак, аксиоматическая система, выстраиваемая на основе определения (D),

в самом деле есть 5↓_1V1VꢀОнтология. В этой онтологии всего два модуса — все

ненулевые векторы и нулевой вектор. Любые два вектора могут быть представꢀ

лены как пропорциональные проекции друг друга за одним исключением — неꢀ

нулевой вектор нельзя представить как пропорциональную проекцию нулевого

вектора.

Рассмотрим частный случай представленной выше 1V{a_i}^N_i=1ꢀОнтологии, коꢀ

гда берется один вектор а, на который идет пропорциональное проецирование

(здесь можно вообще снять фиксацию некоторого полного набора векторов

{a_i}^N_i=1для пространства V, рассматривая вектора не для фиксированного базиса,

а в рамках векторного пространства как объекта, инвариантного к преобразоꢀ

ванию координат. Для такой Онтологии я буду использовать спецификатор

«1v»).

Тогда получим:

≡

109

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

(D′)

Mod(x, y, a, ↓_1v, 1v) ≡ (x = P(a)y) ∧ (x, y, a ∈ V),

где ↓_1v

=_DfP(…).

Как и ранее, можно доказать теоремы:

Теорема 1′

Mod¹²⁷(x, y, 1v) ≡ ∃z((x = P(z)y) ∧ (x, y ∈ V)).

Mod¹⁷(x, 1v) ≡ (x ∈ V).

Теорема 2′

Теорема 3′

Теорема 4′

Теорема 5′

Теорема 6′

Теорема 7′

Теорема 8′

Теорема 9′

Теорема 10′

Mod²⁷(x, 1v) ≡ (x ∈ V).

Mod¹²⁷(x, y, 1v) ≡ ((y = 0) ⊃ (x = 0)) ∧ (x, y ∈ V).

Mod¹²⁷(x, y, 1v) ⊃ Mod²⁷(x, 1v).

Mod¹²⁷(x, y, 1v) ⊃ Mod¹²⁷(y, y, 1v).

Mod¹²⁷(x, y, 1v) ⊃ ∀z(Mod¹²⁷(y, z, 1v) ⊃ Mod¹²⁷(x, z, 1v)).

1v1

(x = y) ≡ ((x = 0) ≡ (y = 0)) ∧ (x, y ∈ V).

23

1v2

(x = y) ≡ ((x = 0) ≡ (y = 0)) ∧ (x, y ∈ V).

23

(x =₁^1v2y) ≡ ((x = 0) ≡ (y = 0)) ∧ (x, y ∈ V).

Интересно, что может быть доказана еще одна теорема:

Теорема 11′

Mod¹²⁷(x, y, 1V{a_i}^N_i=1) ⊃ Mod¹²⁷(x, y, 1v),

т. е. если вектор х является модой вектора у в рамках 1V{a_i}^N_i=1ꢀОнтологии, то х

является модой у и в рамках 1vꢀОнтологии. Это означает, что для пропорциоꢀ

нальной проекции вектора, полученной в подпространстве, натянутом на

{a_ni}^m_i=1⊆_V{a_k}^N_k=1, всегда в качестве 1vꢀмодели этой проекции можно рассмотреть

один вектор а ∈ V. Таким образом, более простые 1vꢀмодели могут дать те же

результаты, которые в 1V{a_i}^N_i=1ꢀОнтологии дают более сложные 1V{a_i}^N_i=1ꢀмоꢀ

дели.

≡

110

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 5. Векторные многообразия

≡

Как и ранее, для доказательства второй аксиомы 1vꢀОнтологии достаточно

доказать следующую теорему.

Теорема 12′

Mod(x, y, z, ↓_1v, 1v) ≡ ((x = 0) ≡ (P(z)y = 0)) ∧

∧ ∃xMod(x, y, z, ↓_1v, 1v) ∧ ∃yMod(x, y, z, ↓_1v, 1v).

Доказательство этой теоремы следует из определения (D′) и теорем 8′, 9′.

Пытаясь выразить более дифференцированную структуру векторных менꢀ

тальных многообразий, рассмотрим случай 1VꢀОнтологии с ортонормированꢀ

ным базисом {e_k}^N_k=1. Для этой Онтологии я также попытаюсь выразить и сюръꢀ

ектор.

Зафиксируем некоторый базис е₁, е₂, …, e_Nв векторном пространстве V. В каꢀ

честве векторных проекторов, как и ранее, могут быть рассмотрены операторы

n

P(e

)

∑

,

k

i

i=1

где e_k, e_k, …, e_k— некоторый поднабор векторов из набора е₁, е₂, …, e_N. Такие

2

n

опера¹торы проецируют вектор на подпространство, базисом которого являютꢀ

ся вектора e_k, e_k, …, e_k. Как я уже отмечал выше, это стандартные векторные

1

2

n

проекторы. Здесь имеем:

n

P(e )y =

P(e , e_k)y =

P(e , y)e_k

=

y

e_k

,

∑

k

i

i=1

y_k= (e_k, y) — k_iꢀя координата вектора у в базисе е₁, е₂, …, e_N.

i

n

P(e

)

На основе одноместного оператора

мы можем формально опредеꢀ

∑

k

i

лить следующий двуместный оператор:ⁱ⁼¹

n

i=1

[

P(K)]{e

}

=

P(e ).

∑

k

Df

k

i

i=1

n

P(K)

∑

Оператор

действует на последовательность векторов базиса {e_k}ⁿ_i=1

,

i

i=1

n

P(K)

P(e

)

∑

образуя одноместный проектор

. Оператор

я буду далее назыꢀ

∑

k

i

i=1

вать двуместным векторным проⁱе⁼к¹тором.

Аналогичные конструкции могут быть представлены для векторных сюръꢀ

екторов.

Воꢀпервых, определим некоторый векторный сюръектор в несколько ином

смысле, чем это было сделано выше.

Пусть х — вектор из пространства V, a_i— вещественное число, e_i— один из

векторов базиса е₁, е₂, …, e_N. Определим операцию

x * a_ie_i= x, если (e_i, x) ≠ 0,

x * a_ie_i= x + a_ie_i, если (e_i, x) = 0.

≡

111

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Пусть {e_p}^m_j=1— поднабор векторов из набора е₁, е₂, …, e_N. Обозначим через

j

^m*e

∑

p

сумму

объект (e_p* e_p* … * e_p). Используя эту операцию, определим

j

1

2

m

j=1

векторный сюръектор в базисе е₁, е₂, …, e_Nкак оператор S*(a_ie_i), где

S*(a_ie_i)x = x * a_ie_i.

Далее может быть определен оператор

^m*S*(a e _j),

∑

j

p

j=1

где e_p, e_p, …, e_p— некоторый поднабор векторов из набора е₁, е₂, …, e_N. Здесь

1

2

m

имеем:

^m*S*(a e )x

= x * (e_p* e_p* … * e_p) =_Df(…((x * e_p) * e_p) * … * e_p).

∑

j

p

j

1

2

m

1

2

m

j=1

^m*S*(a e

)

На основе одноместного оператора ∑

мы можем формально

j

p

j

j=1

определить следующий двуместный оператор:

[

^m*S*(K)]{a e }^m

=

^m*S*(a e _j).

∑

j

p

j=1

j

p

Df

j

j=1

Здесь последовательность {a_je_p}^m_j=1формально играет роль одного из аргуꢀ

j

m

*S*(K)

ментов оператора

, после подстановки которого получаем одноместꢀ

∑

j=1

m

^m*S*(a e

)

*S*(K)

двуместꢀ

ный оператор ∑

. Далее я буду называть оператор

∑

j

p

j

j=1

ным векторным сюръектором.

Теперь мы готовы к тому, чтобы построить некоторую Проективно Модальꢀ

ную Онтологию на векторах с фиксированным проектором и сюръектором.

Предполагается, что в ней определены аксиомы для линейного пространства V,

скалярного произведения и аксиомы для поля вещественных чисел R, над котоꢀ

рым строится пространство V. Также положим, что есть аксиомы, определяꢀ

ющие последовательность {e_i}^N_i=1как ортонормированный базис пространства V.

В качестве первичного проективноꢀмодального предиката выступает следуꢀ

ющий предикат:

(D*) Mod(x, y, {e_k}ⁿ_i=1, ↓_1V, {a_je_p}^m_j=1, ↑_1V, 1V{e_i}^N_i=1) ≡

i

j

n

^m*S*(a e )x

≡ (x =

) ∧ (y =

) ∧ ({e_k}ⁿ_i=1⊆_V{e_k}^N_k=1) ∧

P(e )y

∑

k

∑

j

p

i

j

i

i=1

j=1

∧ ({e_p}^m_j=1⊆_V{e_k}^N_k=1) ∧ ∀j((j = 1) ∨ … ∨ (j = m)) ⊃ (a_j∈ R) ∧ (x, y ∈ V{e_i}^N_i=1),

i

где

n

P(K)

∑

↓

=

,

1V Df

i=1

≡

112

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 5. Векторные многообразия

≡

m

*S*(K)

↑

=

,

∑

1V Df

j=1

({e_k}ⁿ_i=1Н_V{e_k}^N_k=1) ≡ ∀i(((i = 1) ∨ … ∨ (i = n)) ⊃

i

⊃ ∃k(((k = 1) ∨ … ∨ (k = N)) ∧ (e_k= e_k)).

i

Таким образом, согласно этому определению, представление х объявляется

1V{e_k}^N_k=1ꢀмодой представления у в рамках базиса {e_k}^N_k=1если только если х есть

векторная проекция у на некоторое подпространство с базисом {e_ki}ⁿ_i=1. Из опреꢀ

деления (D) мы видим, что 1Vꢀмоделями являются последовательности {e_ki}ⁿ_i=1

элементов базиса, 1V{e_k}^N_k=1ꢀмодулями — последовательности {a_je_pj}^m_j=1произꢀ

ведений элементов базиса на числа. Это, в частности, означает, что в языке

5↓_1V↑_1V1V{e_k}^N_k=1ꢀОнтологии должны быть переменные по последовательностям

векторов или чисел, для которых имеет смысл отношение Н_V, как оно было

определено выше. Для выделения таких переменных можно использовать преꢀ

дикаты ON — «быть ортонормированной системой векторов», и nTerm — «быть

последовательностью из n термов». Далее я, как и ранее, буду сокращать обоꢀ

значение спецификатора «1V{e_k}^N_k=1» через символ «1V».

Ясно также, что в 1VꢀОнтологии должна присутствовать теорема

(ON)

(z ⊆_V{e_k}^N_k=1) ⊃ ON(z) ∧ ∃n(nTerm(z)).

Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1*

n

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ≡ ∃n∃z((x =

∧ nTerm(z) ∧ ON(z) ∧

P(z)y

∑

i=1

∧ (z ⊆_V{e_k}^N_k=1) ∧ (x, y ∈ V)).

n

P(K)(z, y)

».

∑

Через запись «

» я буду сокращать выражение «

P(z)y

∑

i=1

Теорема 2*

Теорема 3*

Теорема 4*

Теорема 5*

Теорема 6*

Mod¹⁷(x, 1V) ≡ (x ∈ V).

Mod²⁷(x, 1V) ≡ (x ∈ V).

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ⊃ Mod²⁷(x, 1V).

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ⊃ Mod¹²⁷(y, y, 1V).

Mod¹²⁷(x, y, 1V) ⊃ ∀z(Mod¹²⁷(y, z, 1V) ⊃ Mod¹²⁷(x, z, 1V)).

Доказательство (см. Приложение 17)

≡

113

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

В доказательстве этой теоремы я не раз пользовался законом экстенсиоꢀ

нальности для векторного равенства =. Эти приемы оправданы следующими теꢀ

оремами.

Теорема 7*

(x =¹₂^V₃¹₅y) ≡ ((x = y) ∧ (x, y ∈ V)).

Теорема 8*

1V2

135

(x =

y) ≡ ((x = y) ∧ (x, y ∈ V)).

Теорема 9*

(x =₁^1V2y) ≡ ((x = y) ∧ (x, y ∈ V)).

Следовательно, векторное равенство в 1VꢀОнтологии выполняет роль как

самого сильного, так и самого слабого проективноꢀмодального равенства межꢀ

ду модами и модусами.

В этом случае для доказательства второй аксиомы 1VꢀОнтологии достаточꢀ

но доказать следующую теорему.

Теорема 10*

n

m

P(e )y

∑

Mod(x, y, {e_k}_i=1, ↓_1V, {a_je_p}_j=1, ↑_1V, 1V) ≡ (x =

) ∧

k

i

j

i=1

^m*S*(a e )x

∧ (y =

) ∧ ∃xMod(x, y, {e_k}ⁿ_i=1, ↓_1V, {a_je_p}^m_j=1, ↑_1V, 1V) ∧

∑

j

p

j

i

j

j=1

∧ ∃yMod(x, y, {e_k}ⁿ_i=1, ↓_1V, {a_je_p}^m_j=1, ↑_1V, 1V).

i

j

Доказательство этой теоремы практически вытекает из определения (D*)

и теорем 7*, 8*.

Итак, аксиоматическая система, выстраиваемая на основе определения (D*),

в самом деле есть 5↓_1V↑_1V1VꢀОнтология.

Поскольку все элементы 1V{e_i}^N_i=1ꢀОнтологии тесно связаны с базисом {e_i}^N

,

i=1

то нам нужна некоторая математическая структура, с помощью которой можно

было бы выразить идею представления вектора в некоторой системе коордиꢀ

нат. Обозначим эту структуру через V{e_k}^N_k=1, где {e_k}^N_k=1— поꢀпрежнему ортонорꢀ

мированный базис пространства V. Структура V{e_k}^N_k=1— это линейное проꢀ

странство V, в которой выделен только базис {e_k}^N_k=1и наложено ограничение на

введение какихꢀлибо иных базисов. В таком виде оно более адекватно будет

представлено как множество не векторов, но только их представлений в базисе

{e_k}^N_k=1. Такие представления можно выразить как Nꢀки чисел. Итак, V{e_k}^N_k=1

—

множество Nꢀок чисел с наложением ограничения на допустимость только одꢀ

ного базиса {e_k}^N_k=1. Каждая Nꢀка {x_k}^N_k=1в такой структуре — не вектор, но лишь

представление вектора в базисе {e_k}^N_k=1. Поскольку Nꢀки{x_k}^N_k=1в структуре

V{e_k}^N_k=1тесно связаны с базисом {e_k}^N_k=1, то, возможно, представления векторов

точнее было бы передавать не просто Nꢀками чисел, но Nꢀками {x_ke_k}^N_k=1— произꢀ

≡

114

≡

Часть 2. Синтезы в математике. Глава 5. Векторные многообразия

≡

ведений чисел на элементы базиса. Поꢀвидимому, можно утверждать, что модеꢀ

лью 1V{e_i}^N_i=1ꢀОнтологии должна быть именно структура V{e_i}^N_i=1, а не пространꢀ

ство V. Структуру V{e_i}^N_i=1я буду далее называть пространством {e_i}^N_i=1ꢀпредставлеꢀ

ний векторов. Это пространство операционально изоморфно пространству V,

но обладает только одним базисом.

В рамках этой Онтологии моды векторов являются стандартными векторꢀ

ными проекциями этих векторов на подпространства V при некотором фиксиꢀ

рованном ортонормированном базисе {e_k}^N_k=1. Получается векторное ментальное

многообразие, тесно связанное с процедурами стандартного векторного проꢀ

ецирования. Надо сказать, что идея такого ментального многообразия служила

для меня одним из источников интуитивных представлений о ментальных мноꢀ

гообразиях вообще (например, идея и терминология для проектора была позаꢀ

имствована мной именно из этих ментальных многообразий), но лишь в послеꢀ

днее время мне удалось выразить конструкции этого многообразия достаточно

строго и оправдать мои давние интуиции. Как было показано выше, если бы,

например, идея проективноꢀмодального отношения Mod¹²⁷(x, y, 1V) была свяꢀ

n

P(a )y

∑

зана с общим выражением для проектора x =

, где a_i— любой вектор

i

i=1

из V, то в этом случае условие Mod¹²⁷(x, y, 1V) было бы выполнено для любых

векторов х и у, кроме случая (х ≠ 0) и (у = 0). Следовательно, в таком ментальꢀ

ном многообразии осталось бы лишь два различных 1Vꢀмодуса — это нулевой

и ненулевой векторы. С другой стороны, 1VꢀОнтология, где в качестве моделей

берутся системы ортонормированных векторов, обладает максимальной разлиꢀ

чимостью — здесь любые два разных вектора одновременно являются двумя

разными 1Vꢀмодусами. Может быть, есть какойꢀто промежуточный вариант

определения проективноꢀмодальной векторной связи, но пока мне не удалось

его сформулировать. С другой стороны, несмотря на зависимость 1VꢀОнтолоꢀ

гии от базиса {e_k}^N_k=1, этот случай векторного ментального многообразия окаꢀ

жется чрезвычайно важным в квантовой механике (см.: наст. изд., т. I, кн. 2,

с. 347—348), где как раз фиксированы ортонормированные базисы эрмитовых

операторов, соответствующие квантовым наблюдаемым. Наконец, мне кажется,

что связь идеи векторной проекции с базисом можно пытаться оправдать еще

и тем, что векторная проекция по самому смыслу не есть слишком инвариантная

конструкция, имеющая смысл вне тех начал, на которые совершается проециꢀ

рование. Но таковыми в общем случае и должны, поꢀвидимому, выступать сисꢀ

темы элементов некоторого базиса векторного пространства. Следовательно,

представленная выше 5↓_1V↑_1V1V{e_k}^N_k=1ꢀОнтология еще не вполне выражает идею

вектора как некоторого межбазисного инварианта. Скорее она выражает проꢀ

ективноꢀмодальную иерархию внутри определенного базиса. Следующий шаг

в построении векторных ментальных многообразий мог бы быть связан как раз

с выражением того принципа инвариантности, который вкладывается в матеꢀ

матике и физике в понятия вектора и тензора. Но здесь нам понадобится некоꢀ

торая первичная неинвариантная векторная среда, отталкиваясь от которой моꢀ

≡

115

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

гут быть определены векторные и тензорные инварианты. Роль такой среды

как раз могли бы сыграть различные векторные ментальные многообразия,

привязанные к тем или иным конкретным векторным базисам.

§ 2. Ментальное многообразие для векторов и их представлений

На векторах может быть построена не единственная векторная Онтология.

В этом параграфе я постараюсь представить эскиз еще одной такой Онтологии,

тесно связанной с идеей вектора (тензора) как инвариантного объекта, сохраꢀ

няющегося при переходах от одной системы отсчета к другой.

Как известно, вектор определяется в математике и физике как такой объект,

который вообще говоря не сводим к своим представлениям в различных систеꢀ

мах координат (базисах). Это некоторый инвариант, как бы находящийся «по

ту сторону» систем координат и лишь так или иначе в них представляющийся.

Здесь мы встречаемся с такими конструкциями, как

• вектор;

• представление вектора в системе координат (базиса);

• система координат (базис) в линейном пространстве.

Эта тройка понятий прямо соотносится с идеями модуса, моды и модели

в некотором ментальном многообразии. Попытаемся теперь наметить пути к реꢀ

ализации этого ментального многообразия, которое я буду выделять специфиꢀ

катором 2V.

В 2VꢀОнтологии представления векторов нужно выразить как моды этих

векторов в соответствующих базисах.

Поꢀвидимому, проще всего ввести 2VꢀОнтологию как случай вырожденной

Онтологии, используя соответствующее отношение нестрогого порядка, наприꢀ

мер такое:

(=_V)

(x =_Vy) ≡ (x = y) ∧ {[∃z(ONBas(z) ∧ (x, yОV(z)] ∨ (x, yОV))}

n

P(z)y

) ∧

(≤_V)

(x ≤ y) ≡ (x = y) ∨ ∃n∃z(ONBas(z) ∧ nTerm(z) ∧ (x =

∑

V

i=1

∧ (x ∈ V(z)) ∧ (y ∈ V)),

где ONBas — предикат «быть ортонормированным базисом».

Формула Mod¹²⁴⁶⁷(x, y, ↓_2V, ↑_2V, 2V) ∧ ⎤Mod¹²⁴⁶⁷(y, x, ↓_2V, ↑_2V, 2V) будет в этом

случае выражать тот факт, что х — представление вектора у.

Но можно постараться определить 2VꢀОнтологию не столь вырожденно, явꢀ

ным образом пытаясь прописать конструкции функторов, моделей и модулей.

Например, можно предложить здесь следующие соображения.

Если дан базис {e_k}^N_k=1и вектор х, то представление х в базисе {e_k}^N_k=1есть Nꢀка

{(e_k, x)e_k}^N_k=1. Наоборот, если дана Nꢀка {x_ke_k}^N_k=1в базисе {e_k}^N_k=1, то по ней можно

^Nx e .

восстановить вектор х как сумму х =

Следовательно, в качестве проекꢀ

∑

k

тора выступит в 2VꢀОнтологии некот^kо⁼р¹ый оператор ↓_2V(x, {e_k}^N_k=1) = {(e_k, x)e_k}^N_k=1

,

≡

116

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 5. Векторные многообразия

≡

^Nx e

N

∑

в качестве сюръектора — оператор ↑_2V({x_ke_k}_k=1, {e_k}_k=1) =

. Кроме того,

k

k=1

чтобы эти операторы начали выполнять роль проектора и сюръектора, они

должны быть расширены на случаи тождественных преобразований. Наприꢀ

мер, для вектора х можно ввести некоторую 2Vꢀединицу 1_2V, для которой будут

выполнены условия

(1_2V)

↓_2V(x, 1_2V) = ↑_2V(х, 1_2V) = х

для х как вектора или представления вектора.

В этом случае в рамках 2VꢀОнтологии векторы окажутся модусами, их предꢀ

ставления модами и системы отсчета в форме ортонормированных базисов —

моделями.

Следует заметить, что в этом случае представления x =_V{x_k}^N_k=1и x* =_V{x*_k}^N_k=1

одного вектора y в разных базисах b и b* будут связаны линейными преобразоꢀ

ваниями:

N

x^*= a^*x_i,

∑

k

i

i=1

где a* — коэффициенты матрицы перехода от нового базиса b* к старому b. Таꢀ

k_i

кие преобразования можно выразить и как некоторый закон перехода

L[b, b*], зависящий от базисов b и b* как от своих параметров:

(Inv)

∃y(Mod(x, y, b, ↓_2V, b, ↑_2V, 2V) ∧ Mod(x*, y, b*, ↓_2V, b*, ↑_2V, 2V)) ≡

≡ (x* =_VL[b, b*]x).

В современной физике используется методология введения разного рода инꢀ

вариантных объектов на основе тех или иных законов преобразования их предꢀ

ставлений. Так определяются скаляры, векторы, тензоры, скалярные плотности

и т. д. В этом случае те или иные законы преобразования между представленияꢀ

ми оказываются существенным условием «индуктивного» построения соответꢀ

ствующих ментальных многообразий, идущего от множества представлений

к восстановлению стоящих за ними инвариант. На примере 2VꢀОнтологии эту

методологию «снизу вверх» можно пояснить следующим образом. Построение

начинается с задания множества 1VꢀОнтологий для различных базисов. Далее

существование вектора как 2Vꢀмодуса гарантируется условием (Inv), в связи

с чем появляются новые 2Vꢀмодусы, не являющиеся представлениями. Именно

эти модусы оказываются инвариантами, тип которых связан с законом преобꢀ

разования L[b, b*]. В дальнейшем может быть обеспечена единственность таꢀ

ких объектов (из условия существования в (Inv) выводится единственность соꢀ

ответствующего модуса) и согласованность их представленийꢀмод в разных

базисах.

Следует также отметить, что закон преобразования L[b, b*] может быть

представлен как интегродифференциал ∆_b*b

=

d_b*o i_b— результат последоваꢀ

Df

тельного действия интеграла i_b, «поднимающего» представление вектора в баꢀ

≡

117

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

зисе b до самого вектора, и дифференциала d_b*, «опускающего» вектор до его

нового представления в базисе b*. Дифференциал и интеграл определяются на

основе 2Vꢀпроектора и сюръектора.

Так методология введения физических инвариант оказывается тесно связанꢀ

ной с построением Проективно Модальных Онтологий, подобных 2VꢀОнтолоꢀ

гии. Сам феномен инвариантности может быть выражен как некоторый вид

«модусности» в рамках подходящих Проективно Модальных Онтологий.

§ 3. Векторная полионтология

На коллинеарных векторах можно определить естественный порядок вида

(VOrd)

х ≤ у ≡ ∃a((a ∈ R) ∧ (a ≥ 0) ∧ (a ≤ 1) ∧ (x = ay))

и определить новую векторную 3VꢀОнтологию с проективноꢀмодальным преꢀ

дикатом

Mod(x, y, α, ↓_3V, β, ↑_3V, 3V) ≡ (x = αy) ∧ (y = βx) ∧ (α, β ∈ F) ∧ (x, y ∈ V).

3Vꢀфункторы определим по следующему правилу:

↓_3V(y, α) =_Dfαy,

↑_3V(x, β) =_Dfβx.

Здесь мы сталкиваемся со случаем, когда проектор и сюръектор определяꢀ

ются на основе одного и того же функтора.

Теперь мы можем объединить все три векторных онтологии в рамках некоꢀ

торой полионтологии, которая одновременно будет также Проективно Моꢀ

дальной Онтологией. Я буду далее обозначать эту систему как VꢀОнтологию. Ее

подонтологиями будут являться 1Vꢀ, 2Vꢀ и 3VꢀОнтологии. В частности, должꢀ

ны быть выполнены следующие свойства включения:

(Sub[1V{e_k}^N_k=1, V])

Mod(x, y, z, ↓_1V, t, ↑_1V, 1V{e_k}^N_k=1) ⊃

⊃ Mod¹²⁴⁶⁷(x, y, z, ↓_1V, t, ↑_1V, V).

(Sub[2V, V])

(Sub[3V, V])

Mod(x, y, z, ↓_2V, t, ↑_2V, 2V) ⊃ Mod¹²⁴⁶⁷(x, y, z, ↓_2V, t, ↑_2V, V).

Mod(x, y, z, ↓_3V, t, ↑_3V, 3V) ⊃ Mod¹²⁴⁶⁷(x, y, z, ↓_3V, t, ↑_3V, V).

Координация 1V и 2VꢀОнтологий в рамках VꢀОнтологии может определятьꢀ

ся следующим условием:

(V)

Mod¹²⁴⁶⁷(t, x, ↓_1V, ↑_1V, 1V{e_k}^N_k=1) ∧ (x = y) ∧

∧ Mod¹²⁴⁶⁷(y, z, ↓_2V, ↑_2V, 2V) ⊃ Mod¹²⁴⁶⁷(t, z, ↓_2V, ↑_2V, 2V),

где = — векторное равенство, распространенное в рамках VꢀОнтологии в том

числе на случаи равенств между собою 1Vꢀмодусов и таких 2Vꢀмодусов, коꢀ

торые являются представлениями векторов. Если для этого равенства так

или иначе будет выполнен закон экстенсиональности, то свойство (V) моꢀ

жет быть доказано как теорема.

≡

118

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 5. Векторные многообразия

≡

§ 4. Объем инвариантности модуса

На примере векторных ментальных многообразий уместно поднять и обсудить

одно важное понятие, связанное со степенью инвариантности модуса.

Пусть дана некоторая αꢀОнтология, и х — αꢀмодус. Введем следующие поняꢀ

тия. Будем называть абсолютным αꢀпозитивом модуса х множество всех модеꢀ

лей этого модуса, относительным αꢀпозитивом — множество всех тех моделей

х, в которых х дает ненулевые моды. Эти понятия могут быть введены в следуꢀ

ющих теоретикоꢀмножественных определениях:

(APos)

y ∈ APos(x) ≡ Mod²³⁷(x, y, α) —

определение абсолютного αꢀпозитива х;

(RPos)

y ∈ RPos(x) ≡ Mod²³⁷(x, y, α) ∧ ⎤NModa(y, α) —

определение относительного αꢀпозитива х.

Модусы можно упорядочивать на основе их позитивов. Позитив модуса моꢀ

жет служить индикатором объема инвариантности модуса. Поꢀвидимому,

в первую очередь это верно для относительного позитива модуса. Хотя можно

предположить связь этих двух позитивов, допуская, что над αꢀОнтологией всеꢀ

гда можно надстроить такую рαꢀОнтологию, в рамках которой появится только

одно изменение, сравнительно с αꢀОнтологией:

(p)

⎤Mod²³⁷(x, y, α) ∧ Mod³⁷(y, α) ⊃ NModel(y, x, pα) — любая модель,

которая не является αꢀмоделью для αꢀмодуса х, окажется «нулевой

рαꢀмоделью» для х как рαꢀмодуса.

Нулевая модель для модуса х — модель для модуса х, в которой х образует

только нулевые моды:

(NModel^pα)

NModel(y, x, pα) ≡ Mod²³⁷(x, y, pα) ∧

∧ ∀z(Mod¹²³⁷(z, x, y, pα) ⊃ NModa(z, pα)).

Таким образом, в рαꢀОнтологии добавляются в позитив модуса все модели,

выходившие за рамки позитива в αꢀОнтологии. «Не быть моделью для х» окаꢀ

зывается «быть нулевой моделью для х». В рαꢀОнтологии абсолютный позитив

модуса расширяется, а относительный позитив остается прежним, так что в каꢀ

честве меры инвариантности модуса вернее, поꢀвидимому, рассматривать отноꢀ

сительный позитив модуса.

Обратимся с этой точки зрения к векторным ментальным многообразиям.

В рамках 2VꢀОнтологии мы видим, что векторы в качестве 2Vꢀмоделей обладаꢀ

ют всеми ортонормированными базисами, в то время как представления вектоꢀ

ров определены только в рамках одного из таких базисов (за вычетом 2Vꢀедиꢀ

ницы 1_2V, которая входит в позитив всех 2Vꢀмодусов). Уже отсюда видно, что

позитивы векторов бесконечно превышают позитивы векторных представлеꢀ

ний. Наконец, как было отмечено выше в (Inv), возможность образовать 2Vꢀмоꢀ

ду в некоторой 2Vꢀмодели тесно связана с определенным законом преобразоваꢀ

≡

119

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

ния мод одного вектора в разных моделях. Позитив 2Vꢀмодуса одновременно

определен в этом случае как объем определения соответствующего закона инꢀ

вариантности.

В более общем случае с конкретным видом инвариантности могут быть свяꢀ

заны не вообще ненулевые моды модуса, но некоторый вид ненулевых мод, коꢀ

торые можно было бы называть определимыми модами относительно данного

вида инвариантности — в том смысле, что именно по этим модам модус может

быть восстановлен (определен) как их инвариант. Тогда в более общем случае

позитив модуса мог бы быть определен как множество всех определимых модеꢀ

лей — моделей, в которых модус дает определимые моды.

§ 5. Композиционное пространство

Наибольшее обобщение, для которого линейное пространство с базисом будет

частным случаем, я предлагаю назвать композиционным пространством (многоꢀ

образием). Какова должна быть математика композиционного пространства?

Кажется, что здесь должны быть выполнены по крайней мере следующие услоꢀ

вия:

1. Должна существовать по крайней мере одна операция композиции о, котоꢀ

рая составляет из отдельных элементов А, В их комбинации (композиции)

А о В.

2. Возможно, операция о ассоциативна.

3. Должен существовать нулевой элемент N, который является нейтральꢀ

ным элементом операции о, т. е. N о A = A о N = A для любого элемента А.

4. Должны быть заданы некоторые коэффициенты, с которыми элементы

могут входить в композиции.

5. Отсюда следует существование операции внешней композиции (*), котоꢀ

рая выражает взятие элемента А с коэффициентом α — как α * А.

6. Среди коэффициентов должны присутствовать по крайней мере ноль 0

и единица 1, так что 0* А = N и 1 * А = А для любого элемента А.

Пусть А, В, С… — элементы композиционного пространства, о — операция

композиции. Это значит, что А о В — также элемент композиционного проꢀ

странства. Пусть далее α, β… — коэффициенты, на которые могут домножаться

элементы. Тогда α * А — также элемент композиционного пространства.

Тогда композиционное пространство с базисом может быть определено как

такое композиционное пространство, в котором 1) найдутся такие независиꢀ

мые ненулевые элементы А₁, А₂, …, А_n(независимость базиса), что 2) для любоꢀ

го элемента В найдутся такие коэффициенты α₁, α₂, …, α_n, что В = (α₁* А₁) о

о (α₂* А₂) о … о (α_n* A_n) (полнота базиса). В этом случае элементы А₁, А₂, …, А_n

можно называть базисом композиционного пространства, а число n можно наꢀ

зывать размерностью композиционного пространства относительно базиса А₁,

А₂, …, А_n. В силу возможной некоммутативности операции о, порядок элементов

в базисе может быть важен.

≡

120

≡

Часть2. Синтезы в математике. Глава 5. Векторные многообразия

≡

Элементы А и В называются независимыми, если не существует такого коэфꢀ

фициента α, что В = α * А. Элемент В называется независимым от элементов В₁,

В₂, …, B_m, если не найдется таких коэффициентов β₁, β₂, …, β_m, что В = (β₁* В₁) о

о (β₂* В₂) о … о (β_m* B_m).

Ясно, что векторные пространства — это композиционные пространства.

Интересны были бы примеры композиционных пространств, которые не являꢀ

ются векторными пространствами.

Например, в аксиоматической теории любую теорему можно вывести из акꢀ

сиом. Определим здесь операцию о по правилу: В = А₁о А₂о … о А_nесли только

если В выводима минимум из А₁, А₂, …, А_n(это значит, что В выводима из А₁, А₂,

…, А_nи не выводима ни из одного собственного подмножества множества {А₁,

А₂, …, А_n}).

То же можно сказать о множестве определяемых понятий относительно перꢀ

вичных понятий.

Еще пример — булевы алгебры. Здесь возможна ситуация, когда каждый

элемент может быть представлен как булева сумма ноля или атомов (например,

совершенная дизъюнктивная нормальная форма в логике высказываний).

Интересный случай — композиционное пространство на онточислах. В просꢀ

тейшем случае, если дан ряд онточисел 1_М, 2_М, …, М_М, то каждое онточисло k_M

можно рассмотреть как элемент базиса композиционного пространства с неꢀ

которой операцией композиции о, так что композиции в этом случае будут

иметь вид:

(α₁* 1_M) о (α₂* 2_M) о … о (α_n* М_M).

В качестве таких композиций можно было бы рассмотреть, например, молеꢀ

кулы, построенные на атомах, — элементах Периодической таблицы Менделеꢀ

ева, которая имеет спиральную структуру (здесь, поꢀвидимому, в типичном слуꢀ

чае М = 8). Еще пример — музыкальные созвучия, т. е. одновременное звучание

нескольких звуков разной высоты. Таким образом, с онточислами могут быть

связаны свои композиционные пространства, базисом которых выступают онꢀ

точисла. Возможно, верно и обратное: если дано некоторое композиционное

пространство, в частности векторное пространство, то можно пытаться связать

с ним онточисловую структуру, на основе которой это пространство могло бы

быть порождено. Тем самым мы могли бы получить ключ к онточисловому

представлению композиционных пространств.

Научное познание вообще склонно к тому, чтобы унифицировать многообꢀ

разие, в том числе в форме разного рода композиционных пространств.

На разных комбинациях в случае композиционного пространства с базисом

А₁, А₂, …, А_nможно ввести порядок, предполагая, что порядок введен на коꢀ

эффициентах, где в любом случае 0 < 1. Тогда порядок на композициях можно

определить покоординатно:

(α₁* А₁) о (α₂* А₂) о … о (α_n* A_n) ≤ (β₁* А₁) о (β₂* А₂) о … о (β_n* A_n),

если только если α_i≤ β_iдля каждого i = 1, …, n.

≡

121

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Отсюда видны проективноꢀмодальные конструкции. В качестве максимальꢀ

ного модуса в композиционном пространстве с базисом А₁, А₂, …, А_nвыступает

композиция (α⁺*А₁) о (α⁺* А₂) о … о (α⁺* A_n) («элементное единое»), где коэффиꢀ

циент α⁺— супремум для множества всех коэффициентов. Минимальным элеꢀ

ментом (нулевой модой) является композиция (α^–* А₁) о (α^–* А₂) о … о (α^–* A_n),

где α^–— инфимум для множества всех коэффициентов. Если операция о некомꢀ

мутативна, то возникает не более n! максимальных и минимальных элементов

для базисов с элементами А₁, А₂, …, А_n.

Унификация при образовании композиционного пространства достигается

за счет представления каждого элемента А из композиционного пространства

как моды своего максимума.

Г л а в а

6

Основы R(анализа

В этой главе я хотел бы исследовать более качественные основания количеꢀ

ства, набрасывая эскиз своего рода «математики меры», где под «мерой», как

это общепринято в философии, понимается категория синтеза количественных

и качественных определений.

§ 1. К математике меры

В общем случае, как известно, количество определяется в ситуации бескачеꢀ

ственного изменения, когда есть изменение чегоꢀто, обладающего одним каꢀ

чеством. Изменение в рамках этих границ и порождает количество. В таком виде

количественное изменение предстает как некоторое изменение, не настолько

сильное, чтобы привести к кардинальной смене меняющегося состояния. Это

изменение «всего лишь по количеству».

Уже из этого понимания количественного процесса мы видим, что у количеꢀ

ства есть некоторая своя сфера бытия, и эта сфера, хотя и отрицает наличие каꢀ

чественных трансформаций, но одновременно оказывается своеобразным —

негативноꢀравнодушным — способом связана с качеством. Количество предпоꢀ

лагает бескачественное изменение объекта, но тем самым обнаруживается заꢀ

висимость количества от качества. Чтобы быть количеству, необходимо, чтобы

качество оставалось неизменным, а изменение все же происходило. Так количеꢀ

ство оказывается видом изменения при условии качественного покоя (тождеꢀ

ства). Качественный покой при общем движении и рождает количественное изꢀ

менение.

Тем самым очерчивается своего рода область или «интервал бытия» количеꢀ

ства, т. е. то место бытия, в рамках которого количество дано как таковое. Со

всех сторон это «место количества» как бы окружено качеством (словно чистая

вода окружена айсбергами гдеꢀнибудь в приполярной области), и только внутꢀ

ри этого качества, как бы в его «промежутке небытия» количество только и обꢀ

ретается.

≡

123

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Из этих соотношений видно, что качество оказывается некоторым более инꢀ

вариантным состоянием — там, где меняется количество, качество продолжает

быть неизменным. Но это совсем не означает, что качество так же не может изꢀ

мениться. Возможен качественный скачок, в котором качество меняется и пеꢀ

реходит в другое качество. Например, вода закипает и переходит в пар.

Отсюда возникает гипотеза уровней организации бытия, в котором качество

есть лишь количество более высокого уровня, а количество — качество уровня боꢀ

лее нижележащего. Для каждого уровня характерен свой масштаб изменения.

Чтобы элемент более высокого уровня совершил хотя бы один шаг изменения,

необходимо пройти множество шагов на нижележащем уровне.

Теперь «интервалом количества» оказывается такое представление процесса

изменения, когда:

1) рассматривается изменение относительно определений более высокого

уровня;

2) это изменение реализуется движением на нижележащем уровне при поꢀ

кое на более высоком уровне.

Соединение этих двух условий и порождает представление изменения как

количественного изменения.

Следовательно, когда математика оперирует тем или иным понятием колиꢀ

чества, она должна использовать свои определения в указанном интервале. Поꢀ

пробуем взглянуть с этой точки зрения на наиболее первичное выражение коꢀ

личества в форме числа, а еще более конкретно — в форме натурального ряда

чисел, который составляет основу современной теории количества.

Все мы знаем со школьной скамьи натуральный ряд чисел с элементами 1, 2,

3…, операциями сложения и умножения, ограниченного вычитания и деления,

отношениями равенства и порядка.

Если применять к натуральному ряду идею интервала количества, то первое,

что необходимо заметить, состоит в том, что такой ряд должен представлять

собой выражение количественного процесса на некотором уровне организации,

так что накопление единиц (шагов) в этом ряду будет одновременно покоем неꢀ

которого элемента более высокого уровня, который и будет выражать качество

данного натурального ряда.

Что с этой точки зрения могла бы представлять собой идея бесконечности,

которая завершает структуру натурального ряда?

Поꢀвидимому, бесконечность будет выражением достижения границы качеꢀ

ства, т. е. возможности первого изменения на более высоком уровне организаꢀ

ции и выхода качества натурального ряда из состояния покоя.

В то же время, почему бы такое качественное изменение не могло бы соверꢀ

шиться за конечное число шагов на более нижележащем уровне? Мы должны

понять идею бесконечности не только как достижение границы качества, но

именно как бесконечное приближение к такой границе. Почему нужно соверꢀ

шить именно бесконечно много шагов изменения на нижележащем уровне, чтоꢀ

бы достичь границы качества?

≡

124

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 6. Основы R+анализа

≡

Бесконечность — это особый режим количества, в котором количество в точꢀ

ности попадает на границу своего качества. Если бы это движение было хотя бы

малейшим образом нарушено в ту или иную сторону, мы не получили бы имеꢀ

ющейся бесконечности. Если бы в выходе количества из себя было бы больше

силы трансцендирования, то выход получился бы раньше, т. е. на конечном

числе шагов. Наоборот, если бы сила замкнутости количества была бы выше, то

там, где натуральный ряд достигал бы бесконечности, оказался бы некоторый

конечный элемент, и бесконечность была бы отодвинута дальше.

Если посмотреть как бы «извне» на бесконечный процесс, то мы увидим, что

это такой специфический режим изменения количества, который чем более

подходит к границе качественного скачка, тем более теряет в своей силе, так

что у самой границы он в точности и полностью обессиливает. Такой процесс

по сути не может вывести за границы качества, он может только в точности

подвести к его границе. Количественный процесс, в точности подводящий

к границе своего качества, можно называть режимом замыкания, поскольку он

не может вывести количество за границы своего качества, но как бы замыкает

его в границах своего качества. Через режим замыкания качество не преодолеꢀ

вает, но утверждает себя.

Таким образом, рассматриваемый сегодня в математике натуральный ряд

есть выражение режима замыкания качества этого натурального ряда.

Количество, которое выражает себя режимом замыкания при приближении

к границам качества, есть количество именно данного качества, а не вообще коꢀ

личество. Такое количество как бы привязано к своему качеству, не может быть

без него, затухает на его границах. Такое количество можно называть внутренꢀ

ним для данного качества. Отсюда следует, что внутреннее количество есть уже

не вообще количество, но количество, вобравшее в себя определения своего каꢀ

чества, как бы «качествоꢀвꢀколичестве».

Таким образом, классический натуральный ряд есть внутреннее количество

для своего качества. В то же время является ли натуральный ряд простейшим

внутренним количеством?

В ответ на этот вопрос мы могли бы отделить друг от друга качество и бескоꢀ

нечность, предполагая, что в общем случае внутренним количеством качества

могло бы быть и конечное количество (конечный натуральный ряд). За эту точку

зрения говорят разного рода примеры из истории арифметики, которые свидеꢀ

тельствуют о существовании практически у всех народов на ранних стадиях

развития конечных натуральных рядов с некоторым максимальным натуральꢀ

ным числом («тьма»). В этом случае натуральный ряд за конечное число шагов

выводил бы к границе качества и возможности качественного скачка. Единицы

этого ряда были бы другими, чем единицы бесконечного натурального ряда.

Последние бесконечно однородны между собой, в то время как единицы конечꢀ

ного натурального ряда были бы гораздо более качественно неоднородными

состояниями, за конечное число шагов будучи в состоянии дать качественный

скачок, подобный скачку между конечным и бесконечным. Если мы принимаем

≡

125

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

эту гипотезу о возможности существования конечного внутреннего количества,

то возникает проблема бесконечного натурального ряда — в чем тогда состоит

категория бесконечности как особого вида внутреннего количества?

Коль скоро идея внутреннего количества оторвалась у нас от бесконечности

(не всякое внутреннее количество бесконечно), то идея бесконечности требует

для своего выражения некоторого самостоятельного принципа, кроме принциꢀ

па качества того или иного количества. Например, в теории формальной арифꢀ

метики, как известно, бесконечность множества натуральных чисел N задается

на основе аксиом Пеано, в том числе аксиомы индукции:

Num(1) ∧ ∀n(Num(n) ⊃ Num(S(n))) ⊃ ∀n(Num(n)),

где S(n) = n + 1, Num — предикат «быть натуральным числом».

В таком представлении важную роль играет понятие переменной n и цикла

∀n(Num(n) ⊃ Num(S(n))) — «если n является натуральным числом, то и следуꢀ

ющее за n — также натуральное число». Именно эти конструкции формируют

индуктивное предположение аксиомы индукции, которое сворачивает идею

бесконечности в конечную форму, выражающую качество бесконечного проꢀ

цесса ¹. Тогда бесконечность можно представить как внутреннее количество

именно того типа качества, в определения которого входит аксиоматика Пеано.

Принимая описанную выше логику, следует также различать два вида конечꢀ

ных натуральных рядов — пребесконечные и постбесконечные. Первые сущеꢀ

ствуют (исторически и логически) до возникновения бесконечного натурального

ряда и не могут использовать его инфинитные структуры в своих определениꢀ

ях. Постбесконечные конечные натуральные ряды — это своего рода возврат

к обогащению структуры пребесконечных рядов, но уже с использованием

структур бесконечного натурального ряда. Далее мы еще обратимся к рассмотꢀ

рению этих последних рядов.

В то же время следует заметить, что преꢀ и постбесконечные конечные ряды

связаны между собой — постбесконечные ряды, использующие для своего выꢀ

ражения идею бесконечности (подробнее см. ниже), можно рассматривать как

более глубокую основу пребесконечных рядов, неявно предданную в последних.

Если это так, то связь между внутренним количеством и бесконечностью могла

бы обрести поддержку — всякое внутреннее количество оказалось бы связанꢀ

ным с бесконечностью, и речь шла бы в этом случае лишь о явности или неяноꢀ

сти этой связи. Тогда бесконечность могла бы быть определена более просто —

не как некоторый вид внутреннего количества, но любое внутреннее количеꢀ

ство того или иного качества. Даже конечное внутреннее количество в этом

случае оказывалось бы лишь более замаскированной формой все той же бескоꢀ

нечности. Но пока я все же буду придерживаться в большей мере другой гипоꢀ

тезы (о бесконечности как об одном из видов внутреннего количества),

оставляя перипетии этой проблемы для будущих более глубоких размышлений.

1

См. также параграф «К системе рационального обеспечения минимальной бесконечности»,

с. 51.

≡

126

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 6. Основы R+анализа

≡

Если, как уже отмечалось, внутреннее количество отделяется у нас от идеи

бесконечности (может быть конечное внутреннее количество), то и конечность

может соединяться или нет с качественной границей, формируя возможность

двух видов конечного. Конечное, которое достигает качественной границы

и тем подобно бесконечности, можно называть несоизмеримой конечностью.

Конечность, лежащая до качественной границы, могла бы называться соизмеꢀ

римой конечностью. Бесконечность всегда достигает границы своего качества

и в этом смысле выражает бесконечный вид несоизмеримости.

Совсем не обязательно, чтобы внутреннее количество было единственным

видом количества. Более того, коль скоро есть качественные скачки, то должно

существовать иное количество, способное вывести за границы данного качества.

Такое количество можно называть внешним, в силу его способности выводить

во внешнюю к данному качеству область (заграничное пространство). Качеꢀ

ство, которое трансцендируется внешним количеством, не является своим для

данного количества.

Двигаясь к границе качества, внешнее количество не будет порождать несоꢀ

измеримость (конечную или бесконечную), но на некотором конечном соизмеꢀ

римом шаге достигнет границы несвоего качества и перейдет ее. Такой способ

существования внешнего количества можно называть режимом размыкания.

В то же время для внешнего количества будет существовать свое качество, в отꢀ

ношении к которому это количество окажется внутренним, но это будет качеꢀ

ство более высокого уровня, покой которого будет сопровождаться изменением

качества нижележащего уровня.

В этом случае произойдет интересное изменение с бесконечностью, когда

она будет трансцендирована внешним количеством (например, в случае расꢀ

смотрения бесконечности как актуальной бесконечности в теории множеств).

В рамках развиваемого здесь подхода, можно будет описать такое состояние

следующим образом. Оставаясь в некотором смысле бесконечностью, такое коꢀ

личество одновременно будет представлено и как некоторый конечный шаг

внешнего количественного процесса. Стоит отметить, что это будет несколько

иной статус бытия бесконечности, чем когда она будет рассматриваться только

как внутреннее количество своего качества. Ниже различие этих состояний буꢀ

дет выражено с использованием понятия Lꢀ и Мꢀстатусов.

Так мы постепенно открываем для себя картину организации количественꢀ

ноꢀкачественных определений более сложную, чем структура организации коꢀ

личества в современной математике, где по сути фиксировано количество одного

качества и господство такой позиции определяет собой все иные математичеꢀ

ские формы. Можно сформулировать проблему построения новой математики

более масштабного представления количественноꢀкачественных процессов,

в которой будут присутствовать разные уровни организации и взаимодействие

разных режимов количественноꢀкачественных трансформаций. Такую матемаꢀ

тику можно было бы называть математикой меры, а не просто количественных

определений.

≡

127

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Элементы новой математики видятся повсеместно уже в имеющихся наꢀ

правлениях современной математики, и остается лишь вполне осознать этот

процесс и сгруппировать его под одним флагом. Например, в теории множеств

Кантором были введены разные степени бесконечности и практически впервые

было сделано математическое открытие режима размыкания господствующей

системы натурального ряда. Символом такого внешнего количества стала идея

актуальной бесконечности, т. е. введения такого режима количества, при котоꢀ

ром ранее недостижимое достигалось и преодолевалось. С другой стороны,

в конструктивной математике развивалось противоположное движение, котоꢀ

рое демонстрировало возможность замыкания размыкающих количественных

процессов (отказ от идеи актуальной бесконечности). Эти два направления

лишь поверхностному взгляду кажутся взаимно отрицающими друг друга, в то

время как в своей совокупности они вплотную подходят к идее относительноꢀ

сти количественных режимов и их определения в рамках многоуровневой колиꢀ

чественноꢀкачественной системы организации.

В теории множеств Кантора, однако, остается еще некоторая двусмысленꢀ

ность, которая была верно подмечена конструктивистами. С одной стороны,

бесконечность натурального ряда преодолевается и возникает претензия на реꢀ

жим размыкания более мощного количественного процесса. С другой стороны,

преодолеваемый натуральный ряд остается только бесконечным, т. е. продолжаꢀ

ет и при этой новой позиции рассматриваться как находящийся в режиме только

замыкания, в то время как он должен быть теперь соотнесен с преодолевающим

его границы внешним количественным процессом, где прежняя бесконечность

окажется конечной. Подобное смешение является уже формальноꢀлогическим

противоречием и должно, как верно отмечают представители конструктивизма,

быть преодолено (актуальная бесконечность должна быть представлена в том

числе финитно). Но последние сами впадают в другую крайность, предлагая воꢀ

обще отказаться от режима размыкания бесконечности и все количественные

определения рассматривать только в рамках режима замыкания натурального

ряда, т. е. изгоняя идею актуальной бесконечности вообще. С этой точки зрения

концепт актуальной бесконечности оказывается двусмысленным и требует проꢀ

яснения. С одной стороны, он несет в себе важную составляющую режима разꢀ

мыкания количества, преодолевающего границы некоторого качества. С другой

стороны, в рамках такого режима размыкания прежнее количество, ранее нахоꢀ

дящееся в режиме замыкания и данное как бесконечное, теперь оказывается

конечноꢀпреодолимым и перестает быть только бесконечностью, оказываясь

в том числе (в рамках режима размыкания) конечным состоянием — в этом

правда финитистов.

В итоге, пытаясь согласовать эти стороны режима размыкания, мы должны

будем ввести идею более инвариантного уровня количества, для которого реꢀ

жимы замыкания и размыкания окажутся лишь двумя его формами представꢀ

ления, в зависимости от некоторой количественной позиции.

≡

128

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 6. Основы R+анализа

≡

Речь идет об обобщении идеи симметрии (инвариантности), которая играет

сегодня столь фундаментальную роль в теоретической физике ¹. Говоря более

точно, ситуация инвариантности должна предполагать следующие составляꢀ

ющие:

1) некоторые системы представления («системы отсчета»);

2) аспекты, выражаемые в каждой системе представления;

3) законы преобразования, связывающие между собой аспекты с переходом

от одной системы представления к другой;

4) инвариант, который образует свои аспекты в системах представления.

В этом случае делается утверждение о принадлежности двух аспектов к одꢀ

ному инварианту, если только эти аспекты могут быть связаны указанными

законами преобразования. Например, вектор — это инвариант, системы предꢀ

ставления — системы координат в векторном многомерном пространстве, асꢀ

пекты — представления вектора своими кординатами в каждой системе коорꢀ

динат, законы преобразования — линейные законы преобразования координат

вектора при переходе от одной системы координат к другой.

Подобная схема может быть обобщена, если использовать идеи и структуры

Проективно Модальной Онтологии (ПМО). В основе этой аксиоматической сиꢀ

стемы заложена как раз описанная выше схема, когда рассматриваются в самом

общем виде некоторые инварианты и их аспекты, задаваемые в различных сисꢀ

темах представлений. С этой точки зрения ПМО может быть названа формальꢀ

ной теорией относительности. Выражаемые предельно обобщенно, в рамках

аксиоматики ПМО, идеи теории инвариантности могут быть названы идеями

обобщенной инвариантности (обобщенной симметрии). Было бы интересно приꢀ

менить средства этой методологии к выражению более инвариантных количеꢀ

ственных режимов.

Общая идея здесь могла бы быть такова.

В общем случае количество может рассматриваться как способное нахоꢀ

диться в режиме замыкания и размыкания, и это будут лишь два аспекта более

инвариантного выражения количества. В этом случае необходимо ввести некоꢀ

торые системы представления количества, в которых количествоꢀинвариант

могло бы образовывать свои аспекты как те или иные количественные режимы.

В этом случае, например, следовало бы понимать натуральный ряд как некотоꢀ

рый инвариант, который в одной позиции (системе представления) мог бы

быть дан в режиме замыкания, выступая в качестве первичной бесконечности

классического натурального ряда, а в другой позиции мог бы оказаться связанꢀ

ным с режимом размыкания, при котором данный натуральный ряд оказался

бы конечным. Такое более инвариантное, финитноꢀинфинитное, выражение

натурального ряда можно было бы обозначать как финꢀинфинитное состояние

количества (фининфинит), способное в одних системах представления давать

свои инфинитные, а в других — финитные аспекты.

1

См. также главу «Симметрия и проективная модальность», с. 294.

≡

129

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

В такой новой схеме организации мерного количества важную роль должны

играть законы преобразования различных количественных аспектов при переꢀ

ходах от одних систем представления к другим. Подобные преобразования, соꢀ

гласно современной теории симметрии, должны образовывать группу. Посмотꢀ

рим на возможные определения таких преобразований на примере все того же

натурального ряда.

Допустим, у нас есть некоторое качество Кч₁, с которым связано свое колиꢀ

чество кл₁, находящееся в режиме замыкания. Допустим, что количество кл₁

выражается в виде натурального ряда 1, 2, 3…, который стремится к бесконечꢀ

ности на границе качества Кч₁. Далее можно предполагать существование более

трансцендентного количественного процесса кл*, который связан со своим каꢀ

чеством Кч* более высокого уровня, и за конечное число шагов такой процесс

достигает границы качества Кч₁, переходя от него к другому качеству Кч₂. Пусть

количество кл* образует свой натуральный ряд 1*, 2*, 3*…, который стремится

к бесконечности на границе качества Кч*, но на некотором конечном шаге М*

достигает границы качества Кч₁. Тогда, в согласии с вышесказанным, мы предꢀ

полагаем, что существует более инвариантное количество Кл₁, которое может

быть выражено в одной системе представления как внутреннее количество кл₁

качества Кч₁, а в другой системе представления — как внешнее количество кл₁*,

связанное с количеством кл*, так что в натуральном ряду этого количества колиꢀ

чество Кл₁будет выражено конечным отрезком натурального ряда 1*, 2*, …, М*.

В этом случае должны существовать отображения вида кл₁→ кл₁* и кл₁* → кл₁,

связывающие между собой инфинитный (кл₁) и финитный (кл₁*) аспекты инꢀ

вариантного количества Кл₁.

Отображение кл₁* → кл₁— это отображение из финитного отрезка 1*, 2*, …,

М* в бесконечный натуральный ряд. Обратное отображение кл₁→ кл₁*, наобоꢀ

рот, отображает весь бесконечный натуральный ряд на финитный отрезок наꢀ

турального ряда. Если мы хотим иметь группу на такого рода отображениях, то

они должны быть изоморфизмами, чего можно достичь только рассматривая

натуральный ряд как подмножество вещественных чисел. Таким образом, укаꢀ

занные отображения должны быть вещественными функциями, изоморфно

отображающими между собой бесконечные и конечные подмножества вещеꢀ

ственных чисел.

В связи с этим интересно заметить, что следствие обратимости финитꢀинꢀ

финитных отображений влечет за собой взаимопереход дискретных и непреꢀ

рывных определений количества. Чтобы обеспечить взаимопереход конечного

и бесконечного, дискретный натуральный ряд должен быть погружен в непреꢀ

рывное множество вещественных чисел. Это можно было бы интерпретировать

таким образом, что дискретные единицы количества всегда имеют фоном некоꢀ

торую непрерывную протяженность, которую они разбивают на дискретные

порции. Причем подобное «нарезание» непрерывной «сплошности» на порции

не единственно — оно может выражать разные режимы количества, режимы

замыкания и размыкания, что и требует их взаимного пересчета друг в друге,

≡

130

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 6. Основы R+анализа

≡

возможного только при непрерывной соꢀизмеряющей количественной среде.

При таком понимании эта среда выражает более инвариантную природу того

более глубокого образа количества, которое способно выражать себя разными

аспектами в разных системах представления. Как ни странно, это означает опреꢀ

деленную проблематизацию фундаментальности натурального ряда — он окаꢀ

зывается хотя и первым, но лишь относительным аспектом более инвариантноꢀ

го представления количества. Такая относительность, в частности, выражается

в его абсолютной дискретности, что делает его неспособным соотнестись с друꢀ

гими дискретными представлениями, отличными от данного. Для такого соизꢀ

мерения и нужна более инвариантная непрерывная среда количества, только

лишь одним из дискретных представлений которой оказывается первичная

бесконечность натурального ряда. Вот почему, вскоре после своего выражения

в истории математики, натуральный ряд все более начинает погружаться в боꢀ

лее обширные количественные определения — множество рациональных, цеꢀ

лых и наконец вещественных чисел.

Итак, пусть дан некоторый натуральный ряд, и мы находимся как бы «внутꢀ

ри него», так что он предстает как бесконечный натуральный ряд, в точности

попадающий на границу своего качества (назовем такой натуральный ряд

стандартным). Но, как было отмечено выше, такое состояние натурального

ряда является не единственным, и возможны отклонения от него в ту или иную

сторону. В связи с этим возникает интересная проблема разных видов суммироꢀ

вания элементов натурального ряда. В самом деле, почему мы уверены, что неꢀ

которые материальные элементы в точности суммируются так же, как единицы

стандартного натурального ряда? Суммирование в стандартном натуральном

ряду можно называть аддитивным. Отличные виды суммирования могли бы

давать предел ряда и раньше стандартного суммирования (случай субаддиꢀ

тивного суммирования), и позже него (сверхаддитивное суммирование). Только

при аддитивном суммировании 1 + 1 = 2. При субаддитивном суммировании

1 + 1 < 2, при сверхаддитивном — 1 + 1 > 2. Задание того или иного вида сумꢀ

мы — это, поꢀвидимому, такая же независимая аксиома арифметики, как и пяꢀ

тый постулат Евклида. Принимая другие виды суммирования, мы можем

иметь дело с другими арифметиками (субꢀ или сверхаддитивными). И подобно

тому как можно поставить проблему экспериментальной проверки вида геоꢀ

метрии реального пространства, может быть поставлена проблема проверки

вида суммирования в реальном мире. Почему мы так уверены, что в нашем физиꢀ

ческом мире суммирование именно аддитивное? Более того, уже есть примеры

в современной физической теории, которые можно было бы проинтерпретироꢀ

вать как случаи неаддитивного суммирования. Таково, например, сложение

скоростей в специальной теории относительности (СТО)¹. Для этого сложения

имеем формулу вида:

1

См. также главу «Ментальные многообразия в теории относительности», с. 322.

≡

131

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

Х ⊕ У = (Х + У)/(1 + ХУ/с²),

где с — скорость света.

Отсюда получим:

1 ⊕ 1 = (1 + 1)/(1 + 1/с²) = 2/(1 + 1/с²) < 2.

Следовательно, релятивистское сложение скоростей может быть рассмотреꢀ

но как субаддитивное сложение.

Теория относительности может быть представлена в этом случае как приꢀ

кладная неаддитивная арифметика, в основе которой должен лежать нестанꢀ

дартный натуральный ряд с субаддитивным сложением (это случай субаддиꢀ

тивной арифметики). Это значит, что такой ряд раньше стандартного ряда

достигает своей бесконечности в таком значении, которое является конечным

для стандартного ряда. В физике это как раз значение скорости света с. Здесь

лежит граница качества субаддитивного ряда релятивистских скоростей, и теоꢀ

рия относительности неявно уже работает с мерной математикой. Только физиꢀ

ке до сих пор кажется, что она здесь применяет аддитивную арифметику в осоꢀ

бых физических условиях. Ситуация может быть переформулирована в этом

случае более радикально: физика работает в теории относительности с неадꢀ

дитивной арифметикой, что и выражается в особых физических условиях.

В качестве примера сверхаддитивного сложения можно рассмотреть известꢀ

ные парадоксы континуума, непрерывной протяженности, которая должна соꢀ

стоять из точек. Каждая точка обладает нулевой протяженностью, но ненулевая

протяженность континуума какимꢀто образом складывается из нулевых точек.

Здесь сумма нулей дает не ноль, т. е. 0 + 0 > 0 — это случай сверхаддитивного

сложения. Его можно было бы связать с неаддитивной арифметикой следуꢀ

ющим образом. Предположим, что существует натуральный ряд нулей, в коꢀ

тором первый элемент — это 0 = 1 · 0, второй элемент 0 + 0 = 2 · 0, третий —

0 + 0 + 0 = 3 · 0 и т. д. В таком виде этот натуральный ряд является стандартꢀ

ным, и любой его конечный элемент не выводит за границы своего качества —

качества нулевого количества. Внутри себя на этом ряду может быть определеꢀ

на арифметика стандартного натурального ряда на элементах n · 0. Например,

сложением здесь будет операция n · 0 + m · 0 = (n + m) · 0, отношения будут

определяться аналогично, допустим, n · 0 < m · 0 если только если n < m и т. д.

Затем предположим, что с нулевым натуральным рядом будет связан некотоꢀ

рый нестандартный сверхаддитивный натуральный ряд 1*, 2*, 3*… Его сверхꢀ

аддитивность будет означать, что бесконечность нулевого натурального ряда

будет соответствовать некоторому конечному числу М* сверхаддитивного

ряда, т. е. ∞ · 0 = М*. В этом случае мы могли бы взять два элемента 0ꢀряда, наꢀ

пример n · 0 и m · 0, сопоставить им, используя соответствующие отображения,

элементы на шкале сверхаддитивного ряда и сложить их по законам сверхаддиꢀ

тивности. Поскольку сверхаддитивный ряд выходит за границы 0ꢀбесконечноꢀ

сти, то мы вполне можем подобрать такие n · 0 и m · 0, что их сверхаддитивная

≡

132

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 6. Основы R+анализа

≡

сумма окажется больше М*, т. е. уже не будет конечным 0ꢀэлементом. Так сумꢀ

ма нулей даст более, чем ноль. Можно предположить, что именно такого вида

эффект мог бы лежать в основе образования ненулевой протяженности из элеꢀ

ментовꢀнулей, и в более общем случае такова могла бы быть сверхаддитивная

природа разного рода целых, обладающих новым (эмерджентным) качеством,

которое отсутствует у элементов целого, и с точки зрения такого качества целое

есть более, чем сумма своих элементов. В таких примерах мы имеем дело с разꢀ

ного рода приложениями сверхаддитивной арифметики.

Итак, перед нами открываются панорамы нового, более полного, учения

о количестве, в котором количество активно взаимодействует с качеством

в рамках разного рода неаддитивных арифметик. Главная задача состоит теперь

в том, чтобы постепенно доводить эту новую философию числа до все более

операциональных определений, выстраивая контуры новой математики меры.

Далее я представлю некоторые возможности такого более операциональноꢀ

го подхода.

Начнем со стандартного натурального ряда, поскольку без него мы не смоꢀ

жем выразить и нестандартные числовые конструкции. Но если современная

математика во многом останавливается на определениях этого ряда, то мы поꢀ

стараемся продвинуться дальше.

Как было сказано выше, вместе с данностью натурального ряда 1, 2, 3… моꢀ

гут быть даны субаддитивный ряд 1^–, 2^–, 3^–… и сверхаддитивный ряд 1⁺, 2⁺, 3⁺…

Субаддитивный ряд заканчивается в некотором конечном элементе М стандартꢀ

ного ряда, умещая все свое бесконечное число элементов в конечном отрезке

[0, М]. Это значит, что последовательность 1^ꢀ, 2^ꢀ, 3^ꢀ… дана как сходящаяся поꢀ

следовательность, имеющая своим пределом число М. В конечном итоге это заꢀ

ставляет нас погрузить стандартный натуральный ряд во множество вещественꢀ

ных чисел. Тогда, как отмечалось выше, мы можем ввести два вещественных

отображения:

1. Отображение R⁺¹_M: [0, M) → [0, +∞), которое сопоставляет полуинтервалу

[0, M), где содержится субаддитивный натуральный ряд 1^–, 2^–, 3^–…, полуинтерꢀ

вал [0, +∞), содержащий стандартный натуральный ряд.

2. Обратное отображение R^–1_M: [0, +∞) → [0, М).

1

Потребуем, чтобы отображения R _Mбыли изоморфизмами для выполнения

свойств групповых операций, как это было отмечено выше.

Используя эти отображения, мы могли бы выразить отношения стандартноꢀ

го натурального ряда и сверхаддитивного ряда. Сверхаддитивный ряд таков,

что он за конечное число шагов М достигает бесконечности натурального ряда.

Такое отношение двух рядов можно моделировать отношением стандартного

и субаддитивного ряда, но теперь представляя субаддитивный ряд как стандартꢀ

ный, а стандартный — как сверхаддитивный ряд. М шагов сверхаддитивного

ряда лягут поверх делений стандартного ряда как М шагов делений стандартноꢀ

го ряда кладутся поверх делений субаддитивного ряда. Для того чтобы выраꢀ

зить эти деления в системе представления стандартного натурального ряда,

≡

133

≡

Тема 4. ОБРАЗЫ СИНТЕЗА В КУЛЬТУРЕ. Раздел 2. Синтезы в науке

≡

когда он будет уходить в бесконечность, мы можем подействовать прямым отоꢀ

бражением R⁺¹на числа 1, 2, …, М. Полученные величины R⁺¹_M(1), R⁺¹_M(2), …,

M

R⁺¹_M(М) = ∞ будут за М шагов достигать бесконечности, представляя сверхадꢀ

дитивный ряд, его режим размыкания в системе представления стандартного

натурального ряда.

Так более операционально могут начать строиться первые определения мерꢀ

ной математики. Центральную роль, как мы видим, в этих построениях играют

1

отображения R _M, которые далее я буду называть Rꢀфункциями (от англ. relaꢀ

tivistic). Именно они выражают переходы между разными режимами количеꢀ

ства, выступая законами преобразования между количественными системами

представления, благодаря чему может возникнуть новая инвариантность (ее такꢀ

же можно называть Rꢀинвариантностью) более глубокого представления колиꢀ

чества, охватывающего свои аспекты как режимы замыкания и размыкания.

Как ведут себя Rꢀфункции в окрестности ноля? Это вопрос, цель которого

состоит в большем прояснении более конкретного вида Rꢀфункций.

В некоторой мере помочь в ответе на этот вопрос может идея подобия ноля

и бесконечности. Ноль есть, с одной стороны, состояние, мультипликативно

симметричное бесконечности, т. е. 0 = 1/∞. Обратная Rꢀфункция R_M^–1, формируꢀ

ющая субаддитивный ряд, переводит бесконечность в конечное состояние М.

Скажется ли это на статусе ноля при такой организации количества? Используя

идею мультипликативной симметрии, мы могли бы предположить в этом слуꢀ

чае и финитизацию ноля — ноль должен был бы перейти в конечную величину

m = 1/M. Однако в статусе ноля есть и очень важный аспект, отличающий его

от бесконечности. Ноль не обладает аддитивной симметрией, т. е. аддитивный

сдвиг ноля на некоторую конечную величину не влияет на результат аддитивꢀ

ных операций. Это можно выразить следующим образом. Пусть символ у_хознаꢀ

чает величину у в системе количества, где х играет роль ноля. Это значит, что

у_хесть величина (у + х) в системе количества с 0 в качестве ноля. На элеменꢀ

тах у_хможно определить свои операции сложения и вычитания по правилу:

у_хz_x= (y z)_x. И здесь роль ноля будет выполнять элемент х. Таким образом,

с точки зрения аддитивных операций ноль может быть заменен любым другим

конечным числом. Будучи выделен мультипликативно, ноль не выделен аддиꢀ

тивно. Адитивно статус ноля распространяется на все вещественные числа.

Если мы свяжем с нолем 0 мультипликативную симметрию 0 = 1/∞ и для фиꢀ

нитного случая, то мы потеряем его аддитивную несимметричность. Только

ноль окажется единственной точкой, которая будет связана с верхней границей

количества обратным соотношением. В самом деле, при представлении ноля

как финитной величины m = 1/M мы должны будем ограничить область субꢀ

аддитивного количества полуинтервалом [m, M), и только для ноля будет выдеꢀ

лена финитная область [0, m), в то время как остальные точки такой областью

обладать не будут. Ноль потеряет свою аддитивную несимметричность на фиꢀ

нитизированной шкале количества.

≡

134

≡

Часть2. Синтезы

в

математике. Глава 6. Основы R+анализа

≡

Пояснить эту идею можно также на примере специальной теории относиꢀ

тельности. Если бы на шкале релятивистских скоростей была выделена нулевая

точка, то возникла бы физика не только с максимальной, но и с минимальной

конечной скоростью движения. Но в этом случае покой приобрел бы статус абꢀ

солютного состояния, инвариантного при переходах между разными системаꢀ

ми отсчета. Остановка объекта приводила бы к таким же кардинальным измеꢀ

нениям, что и достижение скорости света. Ничего подобного мы не наблюдаем

даже в релятивистской физике именно потому, что ноль не обладает аддитивꢀ

ной симметрией, т. е. нулевая скорость движения — это относительная величиꢀ

на, которая не сохраняется в аддитивных переходах между системами отсчета,

и статус ноля может взять на себя любая конечная скорость движения (любая

система отсчета движется относительно себя с нулевой скоростью).

Это означает, что в окрестности ноля не должна возникать такая сильная

сингулярность, как в случае верхней границы количества. Таким образом, можꢀ

но предположить, что здесь Rꢀфункции будут оставаться изоморфными вплоть

до ноля.

В то же время момент мультипликативной симметрии в соотношении 0 = 1/∞

также должен присутствовать. Но такая симметрия не должна привести к выдеꢀ

лению ноля относительно других конечных точек. Поскольку роль ноля в аддиꢀ

тивных операциях может взять на себя любой конечный элемент, то момент

мультипликативной