Бесконечность и континуум-гипотеза – два края
Posted: 21 Jul 2015, 17:50
И.Шашков, И.Щеблев
БЕСКОНЕЧНОСТЬ И КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА – ДВА КРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МЕТАФИЗИКИ
Сначала приведем с небольшими исправлениями два отрывка из статьи «Краевое единение метафизики, физики и психологии» (книга «Интегралика. Пути построения полной картины мира», Киев, 2011).
1. Об изоморфизме уровней бытия
Таким образом, полная «знательная» картина мира имеет три начала-полюса, связанных между собой в треугольник «метафизика – физика – психология».
Связь этих трех полюсов означает, что в своей полноте (в своем предельном развитии – выходе на «край») психология, физика и метафизика не только коррелируют между собой, но и однозначно определяют друг друга.
Более того, краевые, фундаментальные законы психологии, физики и метафизики оказываются изоморфными.
Благодаря такому изоморфизму мы можем получить обобщенные, краевые законы для абстрактных полных сущностей, а затем «спускаться» от них к фундаментальным законам для конкретных дисциплин – к законам метафизики, физики и психологии.
Изоморфизму уровней бытия, взятых в их полноте, означает взаимно-однозначное соответствие элементов этих уровней: если произойдет изменение на одном уровне, то мгновенно (вне времени) произойдет соответствующее изменение на другом уровне.
Это же справедливо относительно двух квантовых сущностей, «спутанных» между собой (см., например, о квантовомеханической теореме Белла в литературе по физике).
На этом примере мы видим, что некоторые ключевые положения Интегральной философии и квантовой физики (а также и психологии – см., например, работы по Квантовой психологии) по сути совпадают.
В частности, показано (Шашков И.И. Философское обоснование (выведение) квантового соотношения неопределенностей), что важнейшее соотношение квантовой механики – соотношение неопределенностей – справедливо как для физики, так и для философии. Более того, обоснование физического соотношения неопределенностей следует не из физических, а из общефилософских соображений.
Всеобщий, интегральный характер принципа неопределенности позволяет применять его в философии (Борчиков С.А. Протеические основы метафизики), в физике (в квантовой механике), в психологии (в Квантовой психологии).
Возможно возражение, что положение об изоморфизме фундаментальных законов (принципов) может быть приемлемым в качестве метафизического, но практика существования физики, психологии и метафизики на сегодня далека от этого постулата. Ведь и физики, и психологи, да и многие философы чрезвычайно далеки друг от друга, так что изоморфизм – это скорее идеал, а реальность в лучшем случае гомоморфна, в худшем – нон-изоморфна.
Да, конечно, и физики, и психологи, да и многие философы чрезвычайно далеки друг от друга, но это только в рамках традиционной, «классической» науки и философии.
Важный шаг в единении философии, физики, психологии делает К.Уилбер, находя в них общее положительное содержание, общие единящие принципы, отвечающие как раз изоморфизму. Соответственно, его психология уже не совсем отвечает стандартам традиционной психологии, неся в большой мере и философское содержание.
Другим шагом в таком единении является квантовая механика, фундаментальные принципы которой относятся и к физике, и к философии, и к психологии (см. выше).
Решительный шаг в этом направлении делается в Интегральной философии, в которой единятся как подобные, так и противоположные сущности.
«Понять» изоморфизм философии, физики и психологии, взятых в их полноте, неформально взять его в себя можно только при достижении полноты самим мыслителем. Однако формальное практическое использование фундаментальных принципов и законов, следующих из такого изоморфизма, доступно практически каждому специалисту.
Так, многие физики, работающие в области квантовой механики, даже не пытаются постичь философскую подоплеку квантовых законов; для них достаточно того, что эти законы хорошо работают на практике. Они просто применяют соответствующие формулы, и получают прекрасные результаты.
Однако при таком подходе область применения соответствующих законов ограничена собственно квантовой механикой, причем некоторые получаемые результаты оказываются настолько необычными, что требуют дополнительного экспериментального подтверждения (которое не всегда возможно получить на практике).
Эти проблемы снимаются, если эти квантовые законы (принципы) верифицированы со стороны более общих, философских законов (принципов), которые, в свою очередь, верифицируются со стороны квантовых законов.
Такая взаимная верификация осуществляется по кольцу коммуникативного резонанса; при этом условие верифицируемости дает этим законам конкретную форму.
В результате получается форма фундаментальных законов (принципов), которая не нуждается в дополнительных экспериментальных подтверждениях.
Таким образом, наука как бы раздваивается.
С одной стороны, у каждой из трех основных дисциплин (метафизика, физика, психология) есть краевая область, в которой фундаментальные законы (принципы) являются общими для всех дисциплин (область полноты); с другой – каждая дисциплина обладает своими специфическими законами, отличающими ее от других дисциплин (область частичности).
Дисциплину в ее области полноты будем называть краевой, или нелинейной, в области частичности – классической, или линейной.
Если при этом наука имеет как область частичности, так и область полноты (будем говорить – выходит на край), то она будет определяться по своей «верхней» части – как краевая наука.
…
2. Условия, при которых наука является краевой
Сформулируем некоторые условия, при которых та или иная наука (Н) является краевой (КН).
1) В первую очередь, она должна быть резонансной – обладать краевой логической противоречивостью (например, в форме кольца КР или в форме L-противоречия). Всякая КН описывает такую реальность, какую внешний наблюдатель резонансно выделяет из полного множества умопостигаемых и не умопостигаемых возможностей.
2) Однако КН лишь тогда осуществляется в своем качестве КН, когда она тем или иным способом выражает (описывает) не только абстрактный мир полных сущностей, как бы прячущих частичность внутри себя, но и конкретную частичную действительность. Это отвечает тому, что полнота включает в себя всё, в т.ч. и свой путь к самой себе.
Соответственно, следует добавить еще одно условие для краевых наук:
КН должна парадоксальным образом единиться с логически непротиворечивой, частичной наукой (ЧН), являющейся «проекцией» КН на ту область знания, относительно которой она является краевой.
Имеем парадоксальную формулу:
КН = КН + ЧН, причем КН ≠ 0, ЧН ≠ 0
Эта формула отражает полноту интегральности КН, при которой интегрирование производится как по общему в интегрируемых феноменах, так и по противоположному в них.
ДАЛЕЕ НОВЫЕ ТЕКСТЫ:
Бесконечность как верхний край (максимум) математической метафизики
Пусть есть некоторая область «чистой» математики R+ и есть область «чистой» нематематической реальности, пересекающиеся в двух «пограничных», условно говоря, точках: в точке 0 и в бесконечности. Тогда переход от математики к нематематической реальности должен происходить через эти две границы. На этих границах осуществляется эмерджентный синтез математики и нематематической реальности (которой отвечает некоторая мета-физика); такой синтез можно понимать как «математическую метафизику» (или как «метафизическую математику»); такая метафизика/математика на границе должна обладать краевой логической противоречивостью. Это можно понимать как то, что краевая логическая противоречивость должна иметь свое выражение на границах множества R+: в точке 0 и в бесконечности.
В этом разделе кратко рассмотрим верхнюю границу (максимум) – бесконечность.
Воспользуемся результатами ВИМа в его статьях на тему полноты в журналах «Кредо нью» и «ФН».
В этих статьях проводится некоторая аналогия между своего рода «философской бесконечностью» (в настоящем тексте это «метафизика») и обычной математической бесконечностью (в настоящем тексте это верхний край множества R+):
«Как для бесконечности выполняется замыкающее соотношение ∞+1 = ∞, так и для Т∞ должно выполняться нечто подобное: Т∞+1 = Т∞ — следующий за Т∞ тезис совпадает с Т∞».
Мы видим, что в этом случае на верхнем краю для математического ряда осуществляется краевая логическая противоречивость: бесконечность понимается как превышающая сама себя (это одна из форм краевой логической противоречивости, равносильная другим ее формам):
(1) ∞+1 = ∞
Таким образом, математическая бесконечность, являясь антиномичным верхним краем «чистой» математики на множестве R+, одновременно адекватно репрезентирует верхний край (максимум) математической метафизики.
Но какая же «физика» имеет «над собой» эту математическую метафизику? Каков верхний край в физике?
Этого вопроса мы уже касались в предыдущих разделах данного сообщения – к верхнему краю следует отнести теорию относительности Эйнштейна.
Здесь к этому добавим сравнение формулы сложения скоростей в теории относительности с формулой (1) для бесконечности.
Если по теории относительности складывать скорость света с с какой-либо другой скоростью v, меньшей или равной с, то получим опять же с.
Условно это можно записать как
с + v = с.
Аналогия этой формулы с формулой (1) очевидна.
Обобщая, получаем название для краевого (верхнего) варианта метафизики – релятивистская метафизика
Континуум-гипотеза как нижний край (минимум) математической метафизики
А как же с нижним краем – что ему отвечает в метафизике, в физике и в математике?
Начнем в данном случае не с математики, а с другого конца – с метафизики и физики.
Ответ для метафизики и физики уже есть – в нашей статье «Обоснование интегрально-квантового подхода при моделировании сознания» (журнал ИС, №5), в которой показывается, что
нижний край для метафизики, осуществляющейся в своей полноте, есть квантовая метафизика;
нижний край для физики, осуществляющейся в своей полноте, есть квантовая физика.
Теперь о нижнем крае в математике – какое логически противоречивое, причем некоторым образом репрезентирующее квантовое единение дискретности и непрерывности (см. нашу статью в журнале №5), математическое понятие сопоставляется с ним?
Найти ответ несложно – это первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза.
Ее можно сформулировать следующим образом:
С точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счетное множество и континуум.
Имеем двухмодельность (см. нашу статью в журнале №5):
счетное множество – дискретность в квантовой модели;
континуум – непрерывность в квантовой модели.
Однако было доказано (Коэн), что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть (как, по Канту, нельзя ни доказать, ни опровергнуть существование Бога).
Иными словами, ни континуум-гипотезу, ни ее отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом Цермело-Френкеля.
Получается, что нельзя говорить ни о каком квантовом единстве дискретности и непрерывности.
Но это только в том случае, если краевая логическая противоречивость является нелегитимной. В нашем же случае краевая логическая противоречивость не только легитимна, но и необходима как признак края, на котором сходится математика и нематематическая реальность.
Соответственно, выполняется и последнее условие – квантовое логически противоречивое единение дискретности и непрерывности, – позволяющее считать континуум-гипотезу нижним краем (минимумом) «философской математики», адекватно описывающей нематематическую реальность.
Объединяя в полноте интегрального подхода верхний край, «середину» и нижний край, получаем систему интегральной релятивистски-квантовой метафизики, относительно которой можно осуществлять строгую логико-математическую репрезентацию.
В заключение добавим, что, с одной стороны, квантовая и релятивистская модели являются нижним и верхним краями бесконечной прямой, но, с другой стороны – сходятся, образуя кольцо КР (ср. со сходимостью абсолютного минимума и абсолютного максимума по Кузанскому).
БЕСКОНЕЧНОСТЬ И КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА – ДВА КРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МЕТАФИЗИКИ
Сначала приведем с небольшими исправлениями два отрывка из статьи «Краевое единение метафизики, физики и психологии» (книга «Интегралика. Пути построения полной картины мира», Киев, 2011).
1. Об изоморфизме уровней бытия
Таким образом, полная «знательная» картина мира имеет три начала-полюса, связанных между собой в треугольник «метафизика – физика – психология».
Связь этих трех полюсов означает, что в своей полноте (в своем предельном развитии – выходе на «край») психология, физика и метафизика не только коррелируют между собой, но и однозначно определяют друг друга.
Более того, краевые, фундаментальные законы психологии, физики и метафизики оказываются изоморфными.
Благодаря такому изоморфизму мы можем получить обобщенные, краевые законы для абстрактных полных сущностей, а затем «спускаться» от них к фундаментальным законам для конкретных дисциплин – к законам метафизики, физики и психологии.
Изоморфизму уровней бытия, взятых в их полноте, означает взаимно-однозначное соответствие элементов этих уровней: если произойдет изменение на одном уровне, то мгновенно (вне времени) произойдет соответствующее изменение на другом уровне.
Это же справедливо относительно двух квантовых сущностей, «спутанных» между собой (см., например, о квантовомеханической теореме Белла в литературе по физике).
На этом примере мы видим, что некоторые ключевые положения Интегральной философии и квантовой физики (а также и психологии – см., например, работы по Квантовой психологии) по сути совпадают.
В частности, показано (Шашков И.И. Философское обоснование (выведение) квантового соотношения неопределенностей), что важнейшее соотношение квантовой механики – соотношение неопределенностей – справедливо как для физики, так и для философии. Более того, обоснование физического соотношения неопределенностей следует не из физических, а из общефилософских соображений.
Всеобщий, интегральный характер принципа неопределенности позволяет применять его в философии (Борчиков С.А. Протеические основы метафизики), в физике (в квантовой механике), в психологии (в Квантовой психологии).
Возможно возражение, что положение об изоморфизме фундаментальных законов (принципов) может быть приемлемым в качестве метафизического, но практика существования физики, психологии и метафизики на сегодня далека от этого постулата. Ведь и физики, и психологи, да и многие философы чрезвычайно далеки друг от друга, так что изоморфизм – это скорее идеал, а реальность в лучшем случае гомоморфна, в худшем – нон-изоморфна.
Да, конечно, и физики, и психологи, да и многие философы чрезвычайно далеки друг от друга, но это только в рамках традиционной, «классической» науки и философии.
Важный шаг в единении философии, физики, психологии делает К.Уилбер, находя в них общее положительное содержание, общие единящие принципы, отвечающие как раз изоморфизму. Соответственно, его психология уже не совсем отвечает стандартам традиционной психологии, неся в большой мере и философское содержание.
Другим шагом в таком единении является квантовая механика, фундаментальные принципы которой относятся и к физике, и к философии, и к психологии (см. выше).
Решительный шаг в этом направлении делается в Интегральной философии, в которой единятся как подобные, так и противоположные сущности.
«Понять» изоморфизм философии, физики и психологии, взятых в их полноте, неформально взять его в себя можно только при достижении полноты самим мыслителем. Однако формальное практическое использование фундаментальных принципов и законов, следующих из такого изоморфизма, доступно практически каждому специалисту.
Так, многие физики, работающие в области квантовой механики, даже не пытаются постичь философскую подоплеку квантовых законов; для них достаточно того, что эти законы хорошо работают на практике. Они просто применяют соответствующие формулы, и получают прекрасные результаты.
Однако при таком подходе область применения соответствующих законов ограничена собственно квантовой механикой, причем некоторые получаемые результаты оказываются настолько необычными, что требуют дополнительного экспериментального подтверждения (которое не всегда возможно получить на практике).
Эти проблемы снимаются, если эти квантовые законы (принципы) верифицированы со стороны более общих, философских законов (принципов), которые, в свою очередь, верифицируются со стороны квантовых законов.
Такая взаимная верификация осуществляется по кольцу коммуникативного резонанса; при этом условие верифицируемости дает этим законам конкретную форму.
В результате получается форма фундаментальных законов (принципов), которая не нуждается в дополнительных экспериментальных подтверждениях.
Таким образом, наука как бы раздваивается.
С одной стороны, у каждой из трех основных дисциплин (метафизика, физика, психология) есть краевая область, в которой фундаментальные законы (принципы) являются общими для всех дисциплин (область полноты); с другой – каждая дисциплина обладает своими специфическими законами, отличающими ее от других дисциплин (область частичности).
Дисциплину в ее области полноты будем называть краевой, или нелинейной, в области частичности – классической, или линейной.
Если при этом наука имеет как область частичности, так и область полноты (будем говорить – выходит на край), то она будет определяться по своей «верхней» части – как краевая наука.
…
2. Условия, при которых наука является краевой
Сформулируем некоторые условия, при которых та или иная наука (Н) является краевой (КН).
1) В первую очередь, она должна быть резонансной – обладать краевой логической противоречивостью (например, в форме кольца КР или в форме L-противоречия). Всякая КН описывает такую реальность, какую внешний наблюдатель резонансно выделяет из полного множества умопостигаемых и не умопостигаемых возможностей.
2) Однако КН лишь тогда осуществляется в своем качестве КН, когда она тем или иным способом выражает (описывает) не только абстрактный мир полных сущностей, как бы прячущих частичность внутри себя, но и конкретную частичную действительность. Это отвечает тому, что полнота включает в себя всё, в т.ч. и свой путь к самой себе.
Соответственно, следует добавить еще одно условие для краевых наук:
КН должна парадоксальным образом единиться с логически непротиворечивой, частичной наукой (ЧН), являющейся «проекцией» КН на ту область знания, относительно которой она является краевой.
Имеем парадоксальную формулу:
КН = КН + ЧН, причем КН ≠ 0, ЧН ≠ 0
Эта формула отражает полноту интегральности КН, при которой интегрирование производится как по общему в интегрируемых феноменах, так и по противоположному в них.
ДАЛЕЕ НОВЫЕ ТЕКСТЫ:
Бесконечность как верхний край (максимум) математической метафизики
Пусть есть некоторая область «чистой» математики R+ и есть область «чистой» нематематической реальности, пересекающиеся в двух «пограничных», условно говоря, точках: в точке 0 и в бесконечности. Тогда переход от математики к нематематической реальности должен происходить через эти две границы. На этих границах осуществляется эмерджентный синтез математики и нематематической реальности (которой отвечает некоторая мета-физика); такой синтез можно понимать как «математическую метафизику» (или как «метафизическую математику»); такая метафизика/математика на границе должна обладать краевой логической противоречивостью. Это можно понимать как то, что краевая логическая противоречивость должна иметь свое выражение на границах множества R+: в точке 0 и в бесконечности.
В этом разделе кратко рассмотрим верхнюю границу (максимум) – бесконечность.
Воспользуемся результатами ВИМа в его статьях на тему полноты в журналах «Кредо нью» и «ФН».
В этих статьях проводится некоторая аналогия между своего рода «философской бесконечностью» (в настоящем тексте это «метафизика») и обычной математической бесконечностью (в настоящем тексте это верхний край множества R+):
«Как для бесконечности выполняется замыкающее соотношение ∞+1 = ∞, так и для Т∞ должно выполняться нечто подобное: Т∞+1 = Т∞ — следующий за Т∞ тезис совпадает с Т∞».
Мы видим, что в этом случае на верхнем краю для математического ряда осуществляется краевая логическая противоречивость: бесконечность понимается как превышающая сама себя (это одна из форм краевой логической противоречивости, равносильная другим ее формам):
(1) ∞+1 = ∞
Таким образом, математическая бесконечность, являясь антиномичным верхним краем «чистой» математики на множестве R+, одновременно адекватно репрезентирует верхний край (максимум) математической метафизики.
Но какая же «физика» имеет «над собой» эту математическую метафизику? Каков верхний край в физике?
Этого вопроса мы уже касались в предыдущих разделах данного сообщения – к верхнему краю следует отнести теорию относительности Эйнштейна.
Здесь к этому добавим сравнение формулы сложения скоростей в теории относительности с формулой (1) для бесконечности.
Если по теории относительности складывать скорость света с с какой-либо другой скоростью v, меньшей или равной с, то получим опять же с.
Условно это можно записать как
с + v = с.
Аналогия этой формулы с формулой (1) очевидна.
Обобщая, получаем название для краевого (верхнего) варианта метафизики – релятивистская метафизика
Континуум-гипотеза как нижний край (минимум) математической метафизики
А как же с нижним краем – что ему отвечает в метафизике, в физике и в математике?
Начнем в данном случае не с математики, а с другого конца – с метафизики и физики.
Ответ для метафизики и физики уже есть – в нашей статье «Обоснование интегрально-квантового подхода при моделировании сознания» (журнал ИС, №5), в которой показывается, что
нижний край для метафизики, осуществляющейся в своей полноте, есть квантовая метафизика;
нижний край для физики, осуществляющейся в своей полноте, есть квантовая физика.
Теперь о нижнем крае в математике – какое логически противоречивое, причем некоторым образом репрезентирующее квантовое единение дискретности и непрерывности (см. нашу статью в журнале №5), математическое понятие сопоставляется с ним?
Найти ответ несложно – это первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза.
Ее можно сформулировать следующим образом:
С точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счетное множество и континуум.
Имеем двухмодельность (см. нашу статью в журнале №5):
счетное множество – дискретность в квантовой модели;
континуум – непрерывность в квантовой модели.
Однако было доказано (Коэн), что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть (как, по Канту, нельзя ни доказать, ни опровергнуть существование Бога).
Иными словами, ни континуум-гипотезу, ни ее отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом Цермело-Френкеля.
Получается, что нельзя говорить ни о каком квантовом единстве дискретности и непрерывности.
Но это только в том случае, если краевая логическая противоречивость является нелегитимной. В нашем же случае краевая логическая противоречивость не только легитимна, но и необходима как признак края, на котором сходится математика и нематематическая реальность.
Соответственно, выполняется и последнее условие – квантовое логически противоречивое единение дискретности и непрерывности, – позволяющее считать континуум-гипотезу нижним краем (минимумом) «философской математики», адекватно описывающей нематематическую реальность.
Объединяя в полноте интегрального подхода верхний край, «середину» и нижний край, получаем систему интегральной релятивистски-квантовой метафизики, относительно которой можно осуществлять строгую логико-математическую репрезентацию.
В заключение добавим, что, с одной стороны, квантовая и релятивистская модели являются нижним и верхним краями бесконечной прямой, но, с другой стороны – сходятся, образуя кольцо КР (ср. со сходимостью абсолютного минимума и абсолютного максимума по Кузанскому).